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如图是反比例函数 $ y = \frac{n+3}{x} $ 的图象的一支，根据图象完成下列探究。
探究1：图象的另一支位于哪个象限？常数 $ n $ 的取值范围是什么？
探究2：在图象上取一点 $ P $，过点 $ P $ 分别作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线，垂足分别为 $ Q $，$ R $，四边形 $ PQOR $ 的面积为 3，求 $ n $ 的值。
归纳总结
(1)过双曲线 $ y = \frac{k}{x} $（$ k $ 为常数，$ k ≠ 0 $）上任意一点作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线，所得矩形的面积为 $ |k| $。
(2)过双曲线 $ y = \frac{k}{x} $（$ k $ 为常数，$ k ≠ 0 $）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 $ \frac{1}{2}|k| $。
(3)只要函数解析式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，过该点向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴围成的图形的面积始终不变。
探究1：图象的另一支位于哪个象限？常数 $ n $ 的取值范围是什么？
探究2：在图象上取一点 $ P $，过点 $ P $ 分别作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线，垂足分别为 $ Q $，$ R $，四边形 $ PQOR $ 的面积为 3，求 $ n $ 的值。
归纳总结
(1)过双曲线 $ y = \frac{k}{x} $（$ k $ 为常数，$ k ≠ 0 $）上任意一点作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线，所得矩形的面积为 $ |k| $。
(2)过双曲线 $ y = \frac{k}{x} $（$ k $ 为常数，$ k ≠ 0 $）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 $ \frac{1}{2}|k| $。
(3)只要函数解析式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，过该点向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴围成的图形的面积始终不变。
答案
探究1：图象的另一支位于第四象限.
∵反比例函数的图象位于第二、第四象限，
∴$ n+3＜0 $，解得$ n＜-3 $.
探究2：设$ P(x，y) $. 由题意，得$ S=|x|·|y|=3 $.
∵图象位于第二、第四象限，
∴$ xy=-3 $.
∴$ n+3=-3 $，解得$ n=-6 $.
∵反比例函数的图象位于第二、第四象限，
∴$ n+3＜0 $，解得$ n＜-3 $.
探究2：设$ P(x，y) $. 由题意，得$ S=|x|·|y|=3 $.
∵图象位于第二、第四象限，
∴$ xy=-3 $.
∴$ n+3=-3 $，解得$ n=-6 $.
解析
【分析】
解题时可结合反比例函数的相关性质逐步推导：
1. 探究1思路：先根据已知图象所在的第二象限，回忆反比例函数图象分布规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，$k＜0$时图象两支分别在第二、第四象限，由此可判断另一支所在象限，再列不等式求解n的取值范围。
2. 探究2思路：利用反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积等于$|k|$，结合已知的矩形面积和图象所在象限确定k的符号，即可列等式求出n的值。
【解析】
探究1
已知该反比例函数图象的一支在第二象限，根据反比例函数的图象性质：当比例系数$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，因此该图象的另一支位于第四象限。
本题中比例系数$k=n+3$，因此可得不等式：
$n+3＜0$
解得$n＜-3$。
探究2
设点P的坐标为$(x,y)$，
由题意可知四边形PQOR是矩形，矩形面积为长乘宽，即$S=|x|·|y|=3$，因此$|xy|=3$。
由于函数图象位于第二、第四象限，点P在第二象限，因此$x＜0$，$y＞0$，$xy＜0$，即$xy=-3$。
又因为点P在反比例函数$y=\frac{n+3}{x}$的图象上，满足$xy=n+3$，因此可得：
$n+3=-3$
解得$n=-6$。
【答案】
探究1：图象的另一支位于第四象限，$n＜-3$；
探究2：$n=-6$。
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数k的几何意义
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题型，核心考查反比例函数图象分布和比例系数的对应关系，以及k的几何意义的实际运用，解题时需注意结合图象所在象限判断比例系数的符号，避免绝对值化简出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时可结合反比例函数的相关性质逐步推导：
1. 探究1思路：先根据已知图象所在的第二象限，回忆反比例函数图象分布规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，$k＜0$时图象两支分别在第二、第四象限，由此可判断另一支所在象限，再列不等式求解n的取值范围。
2. 探究2思路：利用反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积等于$|k|$，结合已知的矩形面积和图象所在象限确定k的符号，即可列等式求出n的值。
【解析】
探究1
已知该反比例函数图象的一支在第二象限，根据反比例函数的图象性质：当比例系数$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，因此该图象的另一支位于第四象限。
本题中比例系数$k=n+3$，因此可得不等式：
$n+3＜0$
解得$n＜-3$。
探究2
设点P的坐标为$(x,y)$，
由题意可知四边形PQOR是矩形，矩形面积为长乘宽，即$S=|x|·|y|=3$，因此$|xy|=3$。
由于函数图象位于第二、第四象限，点P在第二象限，因此$x＜0$，$y＞0$，$xy＜0$，即$xy=-3$。
又因为点P在反比例函数$y=\frac{n+3}{x}$的图象上，满足$xy=n+3$，因此可得：
$n+3=-3$
解得$n=-6$。
【答案】
探究1：图象的另一支位于第四象限，$n＜-3$；
探究2：$n=-6$。
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数k的几何意义
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题型，核心考查反比例函数图象分布和比例系数的对应关系，以及k的几何意义的实际运用，解题时需注意结合图象所在象限判断比例系数的符号，避免绝对值化简出现符号错误。
【难度系数】
0.8
如图，设点 P 在函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，$PC⊥x$轴于点 C，交函数$y=\frac{2}{x}$的图象于点 A，$PD⊥y$轴于点 D，交函数$y=\frac{2}{x}$的图象于点 B，求四边形 PAOB 的面积.
答案
4
解析
【分析】
本题可利用反比例函数中k的几何意义结合割补法求解。首先观察到四边形PAOB是不规则图形，直接计算面积较难，因此考虑用包含它的规则图形面积减去周边多余的规则图形面积计算：先求点P对应的矩形OCPD的面积，再求出函数$y=\frac{2}{x}$上的点A、B分别对应的两个直角三角形的面积，最后作差即可得到四边形的面积。
【解析】
解：
∵点P在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，$PC⊥x$轴，$PD⊥y$轴，
∴根据反比例函数k的几何意义，矩形OCPD的面积$S_{矩形OCPD}=|6|=6$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，$AC⊥x$轴，
∴$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×|2|=1$，
同理，点B在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，$BD⊥y$轴，
∴$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×|2|=1$，
∴四边形PAOB的面积$S=S_{矩形OCPD}-S_{△ OAC}-S_{△ OBD}=6-1-1=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，反比例函数图象上点的特征
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题，解题核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差来求解，计算难度低，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
本题可利用反比例函数中k的几何意义结合割补法求解。首先观察到四边形PAOB是不规则图形，直接计算面积较难，因此考虑用包含它的规则图形面积减去周边多余的规则图形面积计算：先求点P对应的矩形OCPD的面积，再求出函数$y=\frac{2}{x}$上的点A、B分别对应的两个直角三角形的面积，最后作差即可得到四边形的面积。
【解析】
解：
∵点P在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，$PC⊥x$轴，$PD⊥y$轴，
∴根据反比例函数k的几何意义，矩形OCPD的面积$S_{矩形OCPD}=|6|=6$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，$AC⊥x$轴，
∴$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×|2|=1$，
同理，点B在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，$BD⊥y$轴，
∴$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×|2|=1$，
∴四边形PAOB的面积$S=S_{矩形OCPD}-S_{△ OAC}-S_{△ OBD}=6-1-1=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，反比例函数图象上点的特征
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题，解题核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差来求解，计算难度低，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系.
＜red box＞反比例函数的图象和性质
求反比例函数解析式
（1）用好方程组：与一次函数图象的交点坐标是两个函数解析式联立所得的解；
（2）待定系数法：已知反比例函数图象上点的坐标，将其代入
式可得系数
反比例函数中k的几何意义
过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得矩形的面积为$S_{矩形}=$＜/red box＞
＜red box＞反比例函数的图象和性质
求反比例函数解析式
（1）用好方程组：与一次函数图象的交点坐标是两个函数解析式联立所得的解；
（2）待定系数法：已知反比例函数图象上点的坐标，将其代入
式可得系数反比例函数中k的几何意义
过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得矩形的面积为$S_{矩形}=$＜/red box＞
答案
(1)方程组
(2)一个 解析 $|k|$
(2)一个 解析 $|k|$
解析
【分析】
我们结合反比例函数相关的基础原理逐空推导：
1. 函数图象上的点坐标满足对应函数的解析式，两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此是两个解析式联立所得方程组的解；
2. 反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，仅含有1个待定系数$k$，因此只需知道图象上1个点的坐标，代入函数解析式即可求出$k$的值，确定函数解析式；
3. 设双曲线上任意一点坐标为$(x,y)$，过该点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的长为$|x|$、宽为$|y|$，面积$S=|x|·|y|=|xy|$，结合反比例函数性质可知$xy=k$，因此矩形面积为$|k|$。
【解析】
（1）两个函数解析式联立得到方程组，交点坐标同时满足两个解析式，因此是方程组的解，第一空填“方程组”；
（2）反比例函数只有1个待定系数，因此只需已知图象上一个点的坐标，代入解析式（即表达式）即可求出系数，故第二空填“一个”，第三空填“解析”；
根据k的几何意义，过双曲线上点作x、y轴垂线所得矩形面积为$|k|$，故最后一空填$|k|$。
【答案】
(1)方程组；(2)一个，解析；$\boldsymbol{|k|}$
【知识点】
函数交点与方程组的关系、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数k的几何意义
【点评】
本题为反比例函数基础概念梳理题，属于识记类内容，熟练掌握这些核心知识点是解决反比例函数相关综合题的基础。
【难度系数】
0.9
我们结合反比例函数相关的基础原理逐空推导：
1. 函数图象上的点坐标满足对应函数的解析式，两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此是两个解析式联立所得方程组的解；
2. 反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，仅含有1个待定系数$k$，因此只需知道图象上1个点的坐标，代入函数解析式即可求出$k$的值，确定函数解析式；
3. 设双曲线上任意一点坐标为$(x,y)$，过该点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的长为$|x|$、宽为$|y|$，面积$S=|x|·|y|=|xy|$，结合反比例函数性质可知$xy=k$，因此矩形面积为$|k|$。
【解析】
（1）两个函数解析式联立得到方程组，交点坐标同时满足两个解析式，因此是方程组的解，第一空填“方程组”；
（2）反比例函数只有1个待定系数，因此只需已知图象上一个点的坐标，代入解析式（即表达式）即可求出系数，故第二空填“一个”，第三空填“解析”；
根据k的几何意义，过双曲线上点作x、y轴垂线所得矩形面积为$|k|$，故最后一空填$|k|$。
【答案】
(1)方程组；(2)一个，解析；$\boldsymbol{|k|}$
【知识点】
函数交点与方程组的关系、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数k的几何意义
【点评】
本题为反比例函数基础概念梳理题，属于识记类内容，熟练掌握这些核心知识点是解决反比例函数相关综合题的基础。
【难度系数】
0.9
