【定义】圆心到弦的距离叫作弦心距.
【探究】等弧所对弦的弦心距相等.
（1）请在图①中画出图形，写出已知、求证，并完成证明.
【应用】（2）如图②，$\odot O$的弦AB，CD的延长线相交于点P，且$AB=CD$，连接OP. 求证：OP平分$∠ APC$.
（1）解 已知：如图③，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距. 求证：$OE=OF$.


证明 因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
所以$AB=CD$.
因为$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
所以$∠ OEB=∠ OFC=90°$，
$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$.
所以$BE=CF$.
在$\mathrm{Rt}△ OBE$和$\mathrm{Rt}△ OCF$中，
$\begin{cases} OB=OC, \\ BE=CF. \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ OBE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF$（HL）. 所以$OE=OF$.
（2）证明 如图④，过点O作$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，垂足分别为E，F.

由（1）可知$OE=OF$.
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中，
$\begin{cases} OE=OF, \\ OP=OP, \end{cases}$ 所以$\mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF$（HL）.
所以$∠ OPE=∠ OPF$，
即OP平分$∠ APC$.

解：(1) 画出图形：在$\odot O$中作两条等弧$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$，过点$O$分别作$OE⊥ AB$于点$E$，$OF⊥ CD$于点$F$。
已知：在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$OE$是弦$AB$的弦心距，$OF$是弦$CD$的弦心距。
求证：$OE=OF$。
证明：
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AB=CD$。
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore ∠ OEB=∠ OFC=90°$，
由垂径定理得$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore BE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$和$\mathrm{Rt}△ OCF$中，
$\begin{cases} OB=OC \\ BE=CF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OBE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore OE=OF$。
(2) 证明：
过点$O$作$OE⊥ AB$，垂足为$E$，作$OF⊥ CD$，垂足为$F$。
$\because AB=CD$，
$\therefore$ 由(1)的结论可得$OE=OF$。
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中，
$\begin{cases} OE=OF \\ OP=OP \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ OPE=∠ OPF$，
即$OP$平分$∠ APC$。

【分析】
（1）解答第一问时，先根据题意画出对应图形：在$\odot O$中作两条等弧$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$，过圆心O分别作两条弦的垂线得到弦心距OE、OF。已知条件结合题干定义和等弧的条件书写，求证为OE=OF。推导时先利用等弧的性质得到对应弦相等，再通过垂径定理得到半弦相等，最后用HL判定两个直角三角形全等即可证得弦心距相等。
（2）解答第二问时，要证OP平分$∠ APC$，可通过证明OP分得的两个角相等实现。因此过O作AB、CD的垂线得到两条弦心距，由AB=CD结合第一问结论可得两条弦心距相等，再用HL证明含公共边OP的两个直角三角形全等，得到对应角相等，即可证得OP是角平分线。
【解析】
(1) 画出图形：在$\odot O$中作两条等弧$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$，过点$O$分别作$OE⊥ AB$于点$E$，$OF⊥ CD$于点$F$。
已知：在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$OE$是弦$AB$的弦心距，$OF$是弦$CD$的弦心距。
求证：$OE=OF$。
证明：
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AB=CD$。
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore ∠ OEB=∠ OFC=90°$，
由垂径定理得$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore BE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$和$\mathrm{Rt}△ OCF$中，
$\begin{cases} OB=OC \\ BE=CF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OBE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore OE=OF$。
(2) 证明：
过点$O$作$OE⊥ AB$，垂足为$E$，作$OF⊥ CD$，垂足为$F$。
$\because AB=CD$，
$\therefore$ 由(1)的结论可得$OE=OF$。
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中，
$\begin{cases} OE=OF \\ OP=OP \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ OPE=∠ OPF$，
即$OP$平分$∠ APC$。
【答案】
(1) 等弧所对弦的弦心距相等，证明见解析；
(2) OP平分$∠ APC$，证明见解析。
【知识点】
垂径定理，弧弦弦心距的关系，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用类题目，将圆的基本性质和全等三角形的知识结合考查，作弦心距是圆中解决弦相关问题的常用辅助线，解题时要注意对已证结论的迁移运用，降低解题难度。
【难度系数】
0.7