1.如图，AB是$\odot O$的直径，若$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ COB = 38°$，则$∠ AOD$的度数是。

$\boldsymbol{71°}$

解：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$。
∵ $∠ COB=38°$，
∴ $∠ AOC=180°-∠ COB=142°$。
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ 它们所对的圆心角相等，即$∠ AOD=∠ COD$。
∴ $∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×142°=71°$。
最终

2.如图,已知A,B,C,D是$\odot O$上的点,$∠1=∠2$.下列结论:①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$;②$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$;③$AC=BD$;④$∠BOD=∠AOC$.其中正确的有________(填序号).

①②③④

解：
∵ ∠1 = ∠2，即∠COD = ∠AOB，
∴ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，可得 $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故①正确；
∵ ∠1 + ∠BOC = ∠2 + ∠BOC，
即 ∠BOD = ∠AOC，故④正确；
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，可得 $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，故②正确；
在同圆中，相等的弧所对的弦相等，可得 $AC=BD$，故③正确。
综上，正确的是①②③④。

3. 如图，在$\odot O$中，添上一个条件后，$AB=CD.$

解：答案不唯一，如$∠ AOB=∠ COD$（或$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$）。

4.如图，AB为$\odot O$的直径，C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点.若$∠ AOE=60°$，则$∠ BOD$的度数为.

$\boldsymbol{40°}$

解：
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOE + ∠ BOE = 180°$，
∵ $∠ AOE = 60°$，
∴ $∠ BOE = 180° - 60° = 120°$。
∵ C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ EOC = ∠ COD = ∠ BOD$，
∴ $∠ BOD = \frac{1}{3}∠ BOE = \frac{1}{3} × 120° = 40°$。
最终

5. 提升题 如图，AB是半圆O的直径，AB=4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，$\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{CD}$，P是OC上的一个动点，则$BP+DP$的最小值为。

$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$

解：
连接AD，OD，AP，过点O作OE⊥AD于点E。
∵ AB=4，O为半圆O的圆心，
∴ OA=OB=OD=2。
∵ OC⊥AB，OC是半圆O的半径，
∴ OC垂直平分线段AB，
∴ 点B与点A关于直线OC对称，
∴ BP=AP，
∴ BP+DP=AP+DP。
根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，AP+DP取得最小值，即BP+DP的最小值为线段AD的长。
∵ OC⊥AB，
∴ ∠BOC=90°，即$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角为90°。
∵ $\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠BOD=2∠COD，
又∵ ∠BOD+∠COD=∠BOC=90°，
∴ 3∠COD=90°，解得∠COD=30°，∠BOD=60°，
∴ ∠AOD=180°-∠BOD=120°。
∵ OA=OD，OE⊥AD，
∴ AE=DE，∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°。
在Rt△AOE中，$AE=OA·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴ AD=2AE=2√3。
即$BP+DP$的最小值为$2\sqrt{3}$。

6.如图，A,B是$\odot O$上的两点，$∠ AOB=120°$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点.求证:四边形AOBC是菱形.

证明：连接OC。
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠AOC = ∠BOC。
∵ ∠AOB = 120°，
∴ ∠AOC = ∠BOC = 60°。
又∵ OA = OC = OB，都是$\odot O$的半径，
∴ △OAC和△OBC都是等边三角形，
∴ OA = AC = BC = OB。
∴ 四边形AOBC的四条边相等，
∴ 四边形AOBC是菱形。

7.如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,$CD⊥ AO$于点$D$,$CE⊥ OB$于点$E$.
(1)求证:$AD=BE$;
(2)若$AD=DO$,$r=3$,求$CD$的长.

(1) 证明：
连接OC。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ $CD⊥ AO$，$CE⊥ OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$△ CDO$和$△ CEO$中：
$\begin{cases}∠ CDO = ∠ CEO \\∠ DOC = ∠ EOC \\OC = OC\end{cases}$
∴ $△ CDO ≌ △ CEO$（AAS），
∴ $OD = OE$。
又∵ $OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，$OA=OB$，
∴ $OA - OD = OB - OE$，
即 $AD = BE$。
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(2) 解：
∵ 半径$r=3$，∴ $OA=OC=3$。
∵ $AD=DO$，$AD+DO=OA$，
∴ $DO = \frac{1}{2}OA = \frac{3}{2}$。
∵ $CD⊥ AO$，∴ $∠ CDO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，由勾股定理：
$CD = \sqrt{OC^2 - OD^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{9-\frac{9}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
最终$CD$的长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。