1. [2025·合肥肥西期末]在$△ ABC$中，$∠ C=90°,AC=2BC$,则$\tan B=$（）

A.0.5
B.1
C.1.5
D.2

1.D

【分析】
拿到这道题，首先明确题目给出的是直角三角形，求锐角B的正切值，我们可以按照以下思路思考：第一步，回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；第二步，确定∠B的对边和邻边，因为∠C是直角，所以∠B的对边是AC，邻边是BC；第三步，结合题目给出的AC=2BC的边长关系，代入正切的表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ △ABC为直角三角形，
根据锐角正切的定义可得：$\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边} = \frac{AC}{BC}$，
又
∵ 已知$AC=2BC$，
∴ 代入得$\tan B = \frac{2BC}{BC} = 2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 锐角正切的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角正切定义的应用，解题关键是准确识别所求锐角对应的对边和邻边，结合已知边长的倍数关系即可快速求解，易错点是混淆锐角的对边和邻边导致计算错误。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点A(3,1),则cos α 的值为。

2.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

【分析】
要求cosα的值，α是直线OA与x轴正方向形成的锐角，我们可以结合锐角三角函数的定义求解：首先过点A向x轴作垂线，构造包含α的直角三角形；再根据点A的坐标得到直角三角形两条直角边的长度；接着用勾股定理算出斜边OA的长度；最后根据余弦“邻边比斜边”的定义代入计算，分母有理化后得到结果。
【解析】
过点A作AB⊥x轴，垂足为B。
∵点A的坐标为(3,1)，
∴OB=3，AB=1。
在Rt△OAB中，由勾股定理可得：
$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
根据余弦的定义，$\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OB}{OA}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
1.锐角三角函数定义 2.勾股定理 3.坐标与线段转化
【点评】
本题属于求锐角三角函数值的基础题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将点的坐标转化为直角三角形的边长，再结合相关定理和定义计算即可，这类方法是求三角函数值的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{12}{13}$，则$\tan B$的值为（）

A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{5}{12}$

3.D

【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数求值问题，解题思路可按以下步骤展开：首先回忆锐角正弦的定义，结合已知sinA的值，通过设参数的方法表示出∠A的对边和斜边的长度；再利用勾股定理求出第三边的长度；最后根据正切的定义，找准∠B的对边和邻边，计算比值即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$
设$BC=12k$，$AB=13k$（$k＞0$），由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(13k)^2-(12k)^2}=\sqrt{25k^2}=5k$
再根据锐角正切的定义，$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}$，其中$∠ B$的对边为$AC$，邻边为$BC$，因此：
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{5k}{12k}=\frac{5}{12}$
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础的锐角三角函数求值题，利用设参数表示边长的方法能简化计算过程，解题的关键是准确区分不同锐角对应的对边和邻边，避免因边对应错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8

4.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,$\sin∠ADE=\frac{3}{5}$,则$\tan∠BDC$的值为（）

A.$\frac{5}{3}$
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{4}{3}$

4.B

【分析】
首先利用菱形的性质：四条边相等、对边平行，可得$AD=AB$，$AB// CD$，因此$∠ BDC=∠ ABD$，可将求$\tan∠ BDC$转化为求$\tan∠ ABD$。再结合$DE⊥ AB$得到$Rt△ ADE$，根据已知的$\sin∠ ADE$的值，设参数表示出$Rt△ ADE$各边的长度，结合菱形边长相等求出$EB$的长度，最后在$Rt△ DEB$中求出$\tan∠ ABD$的值即可得到结果。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD=AB$，$AB// CD$，
$\therefore ∠ BDC=∠ ABD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ AED=∠ DEB=90°$。
在$Rt△ ADE$中，$\sin∠ ADE=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$，
设$AE=3k\ (k＞0)$，则$AD=5k$，
由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$。
$\because AB=AD=5k$，$\therefore EB=AB-AE=5k-3k=2k$。
在$Rt△ DEB$中，$\tan∠ ABD=\frac{DE}{EB}=\frac{4k}{2k}=2$。
$\because ∠ BDC=∠ ABD$，$\therefore \tan∠ BDC=2$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题运用转化思想，将待求角转化为直角三角形的内角，通过设参数的方法计算三角函数值，解题关键是熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义。
【难度系数】
0.7

5.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,则$\sin∠ AME$的值为.

5.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

【分析】
要求$\sin∠AME$的值，首先观察角所在的三角形：正方形ABCD中$∠ A=90°$，因此$△ AEM$是直角三角形，我们可以通过设参数表示出该直角三角形的各边长，再结合正弦的定义（锐角的对边与斜边的比值）计算。具体思路：先根据已知线段比例关系设参数表示AE的长度，进而得到正方形边长，再由中点性质得到AM的长度，用勾股定理求出斜边EM的长度，最后代入正弦公式计算即可。
【解析】
设$AE=a$，
$\because BE=3AE$，$\therefore BE=3a$，
$\therefore$正方形ABCD的边长$AB=AE+BE=4a$，则$AD=AB=4a$，
$\because$M是AD的中点，$\therefore AM=\frac{1}{2}AD=2a$，
在$\mathrm{Rt}△ AEM$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$EM=\sqrt{AE^2+AM^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
根据正弦的定义：$\sin∠AME=\frac{\mathrm{∠AME的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AE}{EM}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是求锐角三角函数值的基础题，解题核心是利用正方形的直角特征构造含待求角的直角三角形，通过设参数法简化边长计算，再结合三角函数定义求解。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$∠ BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$,$EF⊥ AB$ 于点 $F$,$F$ 恰好是 $AB$ 的三等分点($AF＞BF$).
(1)求证:$AC=AF$;
(2)求 $\tan ∠ CAE$ 的值.

6.(1)证明略. (2)$\frac{\sqrt{5}}{5}$

【分析】
(1) 要证明AC=AF，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等实现：已知AE是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质可得CE=EF，结合公共斜边AE，利用HL即可证明Rt△ACE≌Rt△AFE，进而得到对应边相等。
(2) 要求tan∠CAE的值，根据正切的定义，只需求出Rt△ACE中CE与AC的比值即可。可通过设参数表示各线段长度：先设BF=x，结合三等分点的条件得出AF=2x，AB=3x，由(1)的结论得AC=2x，先用勾股定理求出BC的长度；再设CE=EF=y，在Rt△EFB中利用勾股定理列方程求出y与x的关系，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE平分∠BAC，∠C=90°即EC⊥AC，EF⊥AB，
∴ CE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在Rt△ACE和Rt△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AE=AE\\ CE=EF\end{array} $
∴ Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），
∴ AC=AF。
(2) 解：
设BF=x，
∵ F是AB的三等分点，且AF＞BF，
∴ AF=2x，AB=AF+BF=3x，
由(1)可知AC=AF=2x，
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3x)^2-(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
设CE=EF=y，则BE=BC-CE=$\sqrt{5}x - y$，
在Rt△EFB中，∠EFB=90°，由勾股定理得：
$EF^2+BF^2=BE^2$，即$y^2+x^2=(\sqrt{5}x - y)^2$，
展开整理得：$y^2+x^2=5x^2-2\sqrt{5}xy+y^2$，
消去$y^2$，移项得：$2\sqrt{5}xy=4x^2$，
∵x≠0，两边同时除以2x得：$\sqrt{5}y=2x$，解得$y=\frac{2\sqrt{5}x}{5}$，
在Rt△ACE中，$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AC}=\frac{y}{2x}=\frac{\frac{2\sqrt{5}x}{5}}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何综合基础题，将角平分线、全等三角形、勾股定理和三角函数的知识点结合考查，解题的核心是通过设参数建立线段之间的数量关系，掌握方程思想在几何计算中的应用即可轻松解答。
【难度系数】
0.6

7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=1.6$,$BC=1.2$,$CD⊥ AB$,垂足为点$D$,则$\tan∠ BCD$的值是.

7.$\frac{3}{4}$

【分析】
要计算$\tan∠BCD$的值，若直接在$Rt△BCD$中求解，需要先计算$CD$、$BD$的长度，步骤较繁琐。观察角度关系：已知$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，可得$∠BCD$和$∠A$都与$∠B$互余，根据“同角的余角相等”可推出$∠BCD=∠A$，因此只需计算$Rt△ABC$中$∠A$的正切值，即可得到$∠BCD$的正切值，大幅简化计算。
【解析】
解：$\because ∠ACB=90°$
$\therefore ∠A + ∠B = 90°$
$\because CD⊥AB$，即$∠CDB=90°$
$\therefore ∠BCD + ∠B = 90°$
$\therefore ∠BCD=∠A$（同角的余角相等）
在$Rt△ABC$中，根据正切的定义：
$\tan∠A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{1.2}{1.6}=\frac{3}{4}$
$\therefore \tan∠BCD=\tan∠A=\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
同角的余角相等；正切的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数的求解，核心是利用角度转化的思想，将未知角的三角函数值转化为可直接计算的角的三角函数值，避免了复杂的边长计算，是求解三角函数值的常用技巧。
【难度系数】
0.7

8. 如图，矩形$ABCD$的四个顶点分别在直线$l_3$，$l_4$，$l_2$，$l_1$上.若直线$l_1 // l_2 // l_3 // l_4$且间距相等，$AB = 4$，$BC = 3$，则$\tan α$的值为.

8.$\frac{3}{8}$

【分析】
要求$\tanα$的值，可将$α$放到直角三角形中求解。结合平行线等间距的条件，先作辅助线构造直角三角形：过点$A$作$AG⊥ l_4$于点$G$，过点$C$作$CH⊥ l_4$于点$H$，设相邻平行线间距为$h$，可得$AG=h$，$CH=2h$。再利用矩形的直角性质证明$△ ABG$和$△ BCH$相似，结合相似三角形对应边成比例求出$BG$的长度（用$h$表示），最后在$Rt△ ABG$中根据正切的定义计算即可。
【解析】
解：过点$A$作$AG⊥ l_4$于点$G$，过点$C$作$CH⊥ l_4$于点$H$。
设相邻两条平行线之间的距离为$h$，
$\because l_1// l_2// l_3// l_4$且间距相等，
$\therefore AG = h$，$CH = 2h$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ ABC = 90°$，
$\therefore ∠ ABG + ∠ CBH = 90°$，
又$\because AG⊥ l_4$，$\therefore ∠ AGB=90°$，
$\therefore ∠ ABG + ∠ BAG = 90°$，
$\therefore ∠ BAG = ∠ CBH$。
又$\because ∠ AGB = ∠ BHC = 90°$，
$\therefore △ ABG ∽ △ BCH$，
$\therefore \frac{BG}{CH}=\frac{AB}{BC}$。
已知$AB=4$，$BC=3$，$CH=2h$，代入得：
$\frac{BG}{2h}=\frac{4}{3}$，
解得$BG=\frac{8h}{3}$。
在$Rt△ ABG$中，$∠ AGB=90°$，
$\tanα=\frac{AG}{BG}=\frac{h}{\frac{8h}{3}}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，矩形的性质
【点评】
本题综合考查了平行线间距、矩形性质、相似三角形和三角函数的应用，解题的关键是合理构造辅助线，利用相似三角形找到直角三角形边长的关系，消去参数即可求出正切值。
【难度系数】
0.65