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1.若矩形ABCD的两邻边长分别是1,2,则其对角线BD的长是 （
A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
C
）A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的四个内角均为直角，因此矩形的对角线与相邻的两条边会构成直角三角形，其中对角线是直角三角形的斜边，两邻边是直角边，接下来直接利用勾股定理计算斜边长度即可得到对角线BD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，矩形两邻边为直角三角形的两条直角边，BD为直角三角形的斜边，
根据勾股定理可得：$BD^2=AB^2+AD^2$，
将两邻边长1、2代入得：$BD^2=1^2+2^2=1+4=5$，
∵BD是线段长度，结果为正数，
∴$BD=\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查矩形性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是明确矩形对角线和邻边可构成直角三角形，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的四个内角均为直角，因此矩形的对角线与相邻的两条边会构成直角三角形，其中对角线是直角三角形的斜边，两邻边是直角边，接下来直接利用勾股定理计算斜边长度即可得到对角线BD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，矩形两邻边为直角三角形的两条直角边，BD为直角三角形的斜边，
根据勾股定理可得：$BD^2=AB^2+AD^2$，
将两邻边长1、2代入得：$BD^2=1^2+2^2=1+4=5$，
∵BD是线段长度，结果为正数，
∴$BD=\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查矩形性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是明确矩形对角线和邻边可构成直角三角形，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=3 cm，点P在边AB上，连接DP.若DP平分∠ADC，则∠APD=
$45°$
，BP=1
cm. 答案
2.$45°$ 1
解析
【分析】
首先回忆矩形的性质：矩形的四个内角都是直角，对边相等。已知DP平分∠ADC，先根据角平分线定义求出∠ADP的度数，再在Rt△DAP中利用直角三角形两锐角互余求出∠APD的度数；然后判断△DAP是等腰直角三角形，得到AP的长度，最后用AB的长度减去AP的长度即可得到BP的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，AB=4cm，AD=3cm，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}×90°=45°$，
在Rt△DAP中，∠A=90°，
∴∠APD = 90° - ∠ADP = 90° - 45° = 45°，
∴△DAP为等腰直角三角形，
∴AP = AD = 3cm，
∴BP = AB - AP = 4 - 3 = 1cm。
【答案】
$45°$；1
【知识点】
矩形的性质；角平分线的定义；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要结合矩形的性质和角平分线的定义考查角度和线段长度的计算，解题关键是通过角度关系判断出△DAP是等腰直角三角形，计算过程较为简单，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆矩形的性质：矩形的四个内角都是直角，对边相等。已知DP平分∠ADC，先根据角平分线定义求出∠ADP的度数，再在Rt△DAP中利用直角三角形两锐角互余求出∠APD的度数；然后判断△DAP是等腰直角三角形，得到AP的长度，最后用AB的长度减去AP的长度即可得到BP的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，AB=4cm，AD=3cm，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}×90°=45°$，
在Rt△DAP中，∠A=90°，
∴∠APD = 90° - ∠ADP = 90° - 45° = 45°，
∴△DAP为等腰直角三角形，
∴AP = AD = 3cm，
∴BP = AB - AP = 4 - 3 = 1cm。
【答案】
$45°$；1
【知识点】
矩形的性质；角平分线的定义；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要结合矩形的性质和角平分线的定义考查角度和线段长度的计算，解题关键是通过角度关系判断出△DAP是等腰直角三角形，计算过程较为简单，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.(2024·陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF.求证:AF=DE. 
答案
3. 证明:$\because$四边形ABCD为矩形,$\therefore AB=CD,∠ B=∠ C=90°. \because BE=CF,\therefore BE+EF=CF+EF$,即$BF=CE$.在$△ ABF$和$△ DCE$中,$\begin{cases}AB=DC,\\∠ B=∠ C,\\BF=CE,\end{cases}$$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS}).\therefore AF=DE.$
解析
【分析】
要证明AF=DE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，即目标为证明△ABF≌△DCE。首先结合矩形的性质，可得到AB=CD、∠B=∠C=90°；再根据已知BE=CF，利用线段的和差关系可推出BF=CE，满足SAS全等判定的条件，证得三角形全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：$\because$四边形ABCD为矩形，
$\therefore AB=CD,∠ B=∠ C=90°$.
$\because BE=CF$,
$\therefore BE+EF=CF+EF$,即$BF=CE$.
在$△ ABF$和$△ DCE$中,
$\begin{cases}AB=DC,\\∠ B=∠ C,\\BF=CE,\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AF=DE.$
【答案】
证明过程见上述解析，最终可证得AF=DE。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段和差运算
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是结合矩形性质和已知的线段相等关系，推导得到三角形全等的判定条件，通过全等三角形的性质得到对应边相等，重在考查基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.85
要证明AF=DE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，即目标为证明△ABF≌△DCE。首先结合矩形的性质，可得到AB=CD、∠B=∠C=90°；再根据已知BE=CF，利用线段的和差关系可推出BF=CE，满足SAS全等判定的条件，证得三角形全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：$\because$四边形ABCD为矩形，
$\therefore AB=CD,∠ B=∠ C=90°$.
$\because BE=CF$,
$\therefore BE+EF=CF+EF$,即$BF=CE$.
在$△ ABF$和$△ DCE$中,
$\begin{cases}AB=DC,\\∠ B=∠ C,\\BF=CE,\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AF=DE.$
【答案】
证明过程见上述解析，最终可证得AF=DE。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段和差运算
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是结合矩形性质和已知的线段相等关系，推导得到三角形全等的判定条件，通过全等三角形的性质得到对应边相等，重在考查基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.85
4.(2025·泸州)矩形具有而菱形不一定具有的性质是 （
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角相等
A
）A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角相等
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先要明确矩形和菱形都属于特殊的平行四边形，先回忆两者共有的性质（即平行四边形的通用性质），再分别梳理两者独有的特性，再逐一对应选项判断：首先排除两者共有的性质对应的选项，再判断剩余选项是否符合“矩形具有、菱形不一定具有”的要求。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 对角线相等：矩形的对角线一定相等；菱形的对角线仅在为正方形（特殊菱形）时相等，普通菱形对角线不相等，符合题意要求。
B. 对角线互相平分：矩形和菱形都是平行四边形，平行四边形对角线都互相平分，两者都具备该性质，不符合要求。
C. 对角线互相垂直：这是菱形的特有性质，普通矩形不具备该性质，不符合要求。
D. 对角相等：该性质是平行四边形的通用性质，矩形和菱形都具备，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分特殊平行四边形的共性与特性，解题时只要熟练掌握矩形、菱形的性质，即可快速得出答案，注意不要混淆两类图形的特有性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确矩形和菱形都属于特殊的平行四边形，先回忆两者共有的性质（即平行四边形的通用性质），再分别梳理两者独有的特性，再逐一对应选项判断：首先排除两者共有的性质对应的选项，再判断剩余选项是否符合“矩形具有、菱形不一定具有”的要求。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 对角线相等：矩形的对角线一定相等；菱形的对角线仅在为正方形（特殊菱形）时相等，普通菱形对角线不相等，符合题意要求。
B. 对角线互相平分：矩形和菱形都是平行四边形，平行四边形对角线都互相平分，两者都具备该性质，不符合要求。
C. 对角线互相垂直：这是菱形的特有性质，普通矩形不具备该性质，不符合要求。
D. 对角相等：该性质是平行四边形的通用性质，矩形和菱形都具备，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分特殊平行四边形的共性与特性，解题时只要熟练掌握矩形、菱形的性质，即可快速得出答案，注意不要混淆两类图形的特有性质。
【难度系数】
0.8
5.(教材习题变式)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°.
(1)∠OBC=
(2)若BD=8,则AB的长为
(1)∠OBC=
$30°$
.(2)若BD=8,则AB的长为
4
.答案
5.(1)$30°$ (2)4
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，四个角均为直角。
(1)要求∠OBC的度数：首先由矩形对角线性质可得OB=OC，△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB；再结合外角性质，∠AOB是△OBC的外角，等于两个底角的和，代入已知∠AOB=60°即可求出∠OBC的度数。
(2)要求AB的长：先由BD的长度结合矩形对角线平分的性质求出OB的长度，再根据OA=OB且∠AOB=60°，可判定△AOB是等边三角形，利用等边三角形三边相等即可得到AB的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD
∴OB=OC，即△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB
∵∠AOB是△BOC的外角
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OBC
已知∠AOB=60°，代入得：
∠OBC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°
(2)
∵BD=8，OB=$\frac{1}{2}$BD
∴OB=$\frac{1}{2}$×8=4
又
∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴AB=OB=4
【答案】
(1)$30°$ (2)4
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查矩形对角线相关性质的应用，结合等腰三角形、等边三角形的性质即可完成角度和边长的计算，熟练掌握矩形的性质是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，四个角均为直角。
(1)要求∠OBC的度数：首先由矩形对角线性质可得OB=OC，△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB；再结合外角性质，∠AOB是△OBC的外角，等于两个底角的和，代入已知∠AOB=60°即可求出∠OBC的度数。
(2)要求AB的长：先由BD的长度结合矩形对角线平分的性质求出OB的长度，再根据OA=OB且∠AOB=60°，可判定△AOB是等边三角形，利用等边三角形三边相等即可得到AB的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD
∴OB=OC，即△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB
∵∠AOB是△BOC的外角
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OBC
已知∠AOB=60°，代入得：
∠OBC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°
(2)
∵BD=8，OB=$\frac{1}{2}$BD
∴OB=$\frac{1}{2}$×8=4
又
∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴AB=OB=4
【答案】
(1)$30°$ (2)4
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查矩形对角线相关性质的应用，结合等腰三角形、等边三角形的性质即可完成角度和边长的计算，熟练掌握矩形的性质是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
6.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长为
2.5
.答案
6.2.5
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质推导对角线BD的长度，再根据矩形对角线互相平分求出OD的长；接着观察到P、Q分别是AO、AD的中点，可知PQ是△AOD的中位线，最后利用三角形中位线定理即可求出PQ的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即BD=AC=10，$OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×10=5$。
∵P、Q分别为AO、AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
可得$PQ = \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}×5=2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
矩形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题，将矩形的性质和三角形中位线定理结合考查，只要熟练掌握相关性质定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合矩形的性质推导对角线BD的长度，再根据矩形对角线互相平分求出OD的长；接着观察到P、Q分别是AO、AD的中点，可知PQ是△AOD的中位线，最后利用三角形中位线定理即可求出PQ的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即BD=AC=10，$OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×10=5$。
∵P、Q分别为AO、AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
可得$PQ = \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}×5=2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
矩形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题，将矩形的性质和三角形中位线定理结合考查，只要熟练掌握相关性质定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
7.(教材习题变式)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE//AC交DC的延长线于点E.求证:BD=BE.
答案
7. 证明:$\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore AC=BD,AB// CD$.又$\because BE// AC$,$\therefore$四边形ABEC是平行四边形.$\therefore AC=BE. \therefore BD=BE.$
解析
【分析】
本题是线段相等的证明题，可按以下思路推导：首先回忆矩形的性质，矩形的对角线相等，因此矩形的对角线BD与AC相等，要证BD=BE，只需证明BE=AC即可；结合已知条件BE//AC，以及矩形对边平行的性质可得AB//CE，由此可知四边形ABEC的两组对边分别平行，可判定为平行四边形；再根据平行四边形对边相等的性质可得AC=BE，最终通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore AC=BD,AB// CD$。
又$\because BE// AC$，$\therefore$四边形ABEC是平行四边形。
$\therefore AC=BE$。
$\therefore BD=BE$。
【答案】
$\boldsymbol{BD=BE}$，证明成立。
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查特殊四边形的性质与判定的综合应用，解题的关键是通过两组对边平行判定平行四边形，再利用等量代换完成证明，掌握相关性质定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题是线段相等的证明题，可按以下思路推导：首先回忆矩形的性质，矩形的对角线相等，因此矩形的对角线BD与AC相等，要证BD=BE，只需证明BE=AC即可；结合已知条件BE//AC，以及矩形对边平行的性质可得AB//CE，由此可知四边形ABEC的两组对边分别平行，可判定为平行四边形；再根据平行四边形对边相等的性质可得AC=BE，最终通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore AC=BD,AB// CD$。
又$\because BE// AC$，$\therefore$四边形ABEC是平行四边形。
$\therefore AC=BE$。
$\therefore BD=BE$。
【答案】
$\boldsymbol{BD=BE}$，证明成立。
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查特殊四边形的性质与判定的综合应用，解题的关键是通过两组对边平行判定平行四边形，再利用等量代换完成证明，掌握相关性质定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
8. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,D为AB的中点.
(1)若$AB=16$,则$CD=$
(2)若$∠ ACD=20°$,则$∠ B=$
(1)若$AB=16$,则$CD=$
8
.(2)若$∠ ACD=20°$,则$∠ B=$
$70°$
.答案
8.(1)8 (2)$70°$
解析
【分析】
本题考查直角三角形的相关性质，解题思路如下：
1. 对于第(1)问，已知Rt△ABC中∠C是直角，D是斜边AB的中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，直接代入AB的长度即可求出CD的长；
2. 对于第(2)问，由斜边中线的性质可得CD=AD，根据等腰三角形等边对等角的性质可求出∠A的度数，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，D为AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB$
已知$AB=16$，代入得：
$CD=\frac{1}{2}×16=8$
(2) 由(1)可知$CD=AD$，因此$△ ACD$为等腰三角形，根据等边对等角可得：
$∠ A=∠ ACD=20°$
又因为$Rt△ ABC$中$∠ BCA=90°$，两锐角互余，即$∠ A+∠ B=90°$，代入$∠ A=20°$得：
$∠ B=90°-20°=70°$
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{70°}$
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形核心性质的直接应用，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的相关性质，解题思路如下：
1. 对于第(1)问，已知Rt△ABC中∠C是直角，D是斜边AB的中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，直接代入AB的长度即可求出CD的长；
2. 对于第(2)问，由斜边中线的性质可得CD=AD，根据等腰三角形等边对等角的性质可求出∠A的度数，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，D为AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB$
已知$AB=16$，代入得：
$CD=\frac{1}{2}×16=8$
(2) 由(1)可知$CD=AD$，因此$△ ACD$为等腰三角形，根据等边对等角可得：
$∠ A=∠ ACD=20°$
又因为$Rt△ ABC$中$∠ BCA=90°$，两锐角互余，即$∠ A+∠ B=90°$，代入$∠ A=20°$得：
$∠ B=90°-20°=70°$
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{70°}$
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形核心性质的直接应用，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 生活情境·测量部件 一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD=
3
cm.答案
9.3
解析
【分析】
解题时先根据刻度尺的刻度计算出AB的长度，再结合△ACB是直角三角形、D为AB中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长度。第一步：用B点对应的刻度减去A点对应的刻度，得到AB的长度；第二步：回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，代入AB长度计算CD。
【解析】
首先计算AB的长度：已知点A对应刻度为1cm，点B对应刻度为7cm，因此$AB = 7 - 1 = 6\ \mathrm{cm}$。
∵ $∠ ACB = 90°$，
∴ $△ ACB$是直角三角形，
又
∵ D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
刻度尺读数、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题结合实际测量情境考查基础几何性质，解题思路清晰，只要掌握直角三角形斜边中线的相关性质，就能快速求解，是典型的基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时先根据刻度尺的刻度计算出AB的长度，再结合△ACB是直角三角形、D为AB中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长度。第一步：用B点对应的刻度减去A点对应的刻度，得到AB的长度；第二步：回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，代入AB长度计算CD。
【解析】
首先计算AB的长度：已知点A对应刻度为1cm，点B对应刻度为7cm，因此$AB = 7 - 1 = 6\ \mathrm{cm}$。
∵ $∠ ACB = 90°$，
∴ $△ ACB$是直角三角形，
又
∵ D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
刻度尺读数、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题结合实际测量情境考查基础几何性质，解题思路清晰，只要掌握直角三角形斜边中线的相关性质，就能快速求解，是典型的基础应用题。
【难度系数】
0.8
10.如图,已知$AC⊥BC,AD⊥BD,E$为$AB$的中点.求证:$△ ECD$是等腰三角形.
答案
10. 证明:$\because AC⊥ BC,AD⊥ BD,\therefore ∠ ACB=90°,∠ ADB=90°$.又$\because E$为$AB$的中点,$\therefore CE=\frac{1}{2}AB,DE=\frac{1}{2}AB. \therefore CE=DE. \therefore △ ECD$是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ECD是等腰三角形，核心是证明三角形有两条边相等，即证CE=DE。首先结合已知的垂直条件，可得到△ACB和△ADB都是直角三角形，且两个三角形共用斜边AB，又已知E是AB的中点，此时可运用直角三角形斜边中线的性质，分别推出CE、DE与AB的数量关系，即可得到CE与DE相等，完成证明。
【解析】
证明：$\because AC⊥ BC,AD⊥ BD,\therefore ∠ ACB=90°,∠ ADB=90°$，即$△ ACB$和$△ ADB$均为直角三角形。
又$\because E$为$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，
$\therefore CE=\frac{1}{2}AB,DE=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore CE=DE$，
$\therefore △ ECD$是等腰三角形。
【答案】
$\because AC⊥ BC,AD⊥ BD,\therefore ∠ ACB=90°,∠ ADB=90°$.又$\because E$为$AB$的中点,$\therefore CE=\frac{1}{2}AB,DE=\frac{1}{2}AB. \therefore CE=DE. \therefore △ ECD$是等腰三角形。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是结合直角和中点的条件，借助公共斜边AB建立CE和DE的等量关系，是对基础几何性质应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
要证明△ECD是等腰三角形，核心是证明三角形有两条边相等，即证CE=DE。首先结合已知的垂直条件，可得到△ACB和△ADB都是直角三角形，且两个三角形共用斜边AB，又已知E是AB的中点，此时可运用直角三角形斜边中线的性质，分别推出CE、DE与AB的数量关系，即可得到CE与DE相等，完成证明。
【解析】
证明：$\because AC⊥ BC,AD⊥ BD,\therefore ∠ ACB=90°,∠ ADB=90°$，即$△ ACB$和$△ ADB$均为直角三角形。
又$\because E$为$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，
$\therefore CE=\frac{1}{2}AB,DE=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore CE=DE$，
$\therefore △ ECD$是等腰三角形。
【答案】
$\because AC⊥ BC,AD⊥ BD,\therefore ∠ ACB=90°,∠ ADB=90°$.又$\because E$为$AB$的中点,$\therefore CE=\frac{1}{2}AB,DE=\frac{1}{2}AB. \therefore CE=DE. \therefore △ ECD$是等腰三角形。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是结合直角和中点的条件，借助公共斜边AB建立CE和DE的等量关系，是对基础几何性质应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
