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1. 如图，OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是(
A.∠AOC = ∠BOC
B.∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB
C.∠AOB = 2∠BOC
D.∠AOC + ∠BOC = ∠AOB
（第1题图）
（第2题图）
D
)A.∠AOC = ∠BOC
B.∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB
C.∠AOB = 2∠BOC
D.∠AOC + ∠BOC = ∠AOB
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：选出无法判定OC平分∠AOB的选项。首先回忆角平分线的核心判定逻辑：若在∠AOB内部的射线OC能将∠AOB分成两个相等的角（即∠AOC=∠BOC），则OC是∠AOB的平分线。接下来结合已知OC在∠AOB内部的条件，逐个验证各选项是否能推导出∠AOC=∠BOC即可。
【解析】
根据角平分线的定义：从角的顶点出发，在角内部，能将角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线，已知OC是∠AOB内的射线，逐一分析选项：
A. 若∠AOC=∠BOC，直接满足角平分线的定义，可确定OC平分∠AOB，不符合题意；
B. 若∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，结合角的和差关系∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入得$∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，化简可得∠AOC=∠BOC，可确定OC平分∠AOB，不符合题意；
C. 若∠AOB=2∠BOC，结合∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入得$2∠ BOC=∠ AOC+∠ BOC$，化简可得∠BOC=∠AOC，可确定OC平分∠AOB，不符合题意；
D. 只要OC在∠AOB内部，无论OC的位置在哪，都满足∠AOC+∠BOC=∠AOB，无法推出∠AOC=∠BOC，因此不能确定OC平分∠AOB，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题关键是明确只有能推导出两个小角相等的条件，才能判定射线是角的平分线，不要将普通的角的和差关系误认为角平分线的判定依据。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目要求：选出无法判定OC平分∠AOB的选项。首先回忆角平分线的核心判定逻辑：若在∠AOB内部的射线OC能将∠AOB分成两个相等的角（即∠AOC=∠BOC），则OC是∠AOB的平分线。接下来结合已知OC在∠AOB内部的条件，逐个验证各选项是否能推导出∠AOC=∠BOC即可。
【解析】
根据角平分线的定义：从角的顶点出发，在角内部，能将角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线，已知OC是∠AOB内的射线，逐一分析选项：
A. 若∠AOC=∠BOC，直接满足角平分线的定义，可确定OC平分∠AOB，不符合题意；
B. 若∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，结合角的和差关系∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入得$∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，化简可得∠AOC=∠BOC，可确定OC平分∠AOB，不符合题意；
C. 若∠AOB=2∠BOC，结合∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入得$2∠ BOC=∠ AOC+∠ BOC$，化简可得∠BOC=∠AOC，可确定OC平分∠AOB，不符合题意；
D. 只要OC在∠AOB内部，无论OC的位置在哪，都满足∠AOC+∠BOC=∠AOB，无法推出∠AOC=∠BOC，因此不能确定OC平分∠AOB，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题关键是明确只有能推导出两个小角相等的条件，才能判定射线是角的平分线，不要将普通的角的和差关系误认为角平分线的判定依据。
【难度系数】
0.9
2. 如图,射线OC,OD是∠AOB的三等分线,已知图中所有的锐角之和为$150°$,则$∠ AOC$的度数为
15°
.答案
2.15°
解析
【分析】
解题时首先要先数清图中所有的锐角，避免漏数或多数；再结合OC、OD是∠AOB的三等分线的性质，可知三个小角∠AOC、∠COD、∠DOB相等，我们可以设∠AOC的度数为x，将所有锐角都用含x的式子表示，最后根据所有锐角之和为150°列方程求解即可。
【解析】
设∠AOC的度数为x。
∵射线OC、OD是∠AOB的三等分线
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=x
图中所有锐角分别为：∠AOC=x，∠COD=x，∠DOB=x，∠AOD=x+x=2x，∠COB=x+x=2x，∠AOB=x+x+x=3x。
根据题意得所有锐角之和为：
$x+x+x+2x+2x+3x=150°$
合并同类项得：$10x=150°$
解得：$x=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
角的计数，三等分线性质，角的和差运算
【点评】
本题的易错点是数锐角时出现漏数或多数的情况，解题核心是利用三等分线的性质将所有角统一用同一未知数表示，结合已知的角度和建立方程求解，是角的运算类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先数清图中所有的锐角，避免漏数或多数；再结合OC、OD是∠AOB的三等分线的性质，可知三个小角∠AOC、∠COD、∠DOB相等，我们可以设∠AOC的度数为x，将所有锐角都用含x的式子表示，最后根据所有锐角之和为150°列方程求解即可。
【解析】
设∠AOC的度数为x。
∵射线OC、OD是∠AOB的三等分线
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=x
图中所有锐角分别为：∠AOC=x，∠COD=x，∠DOB=x，∠AOD=x+x=2x，∠COB=x+x=2x，∠AOB=x+x+x=3x。
根据题意得所有锐角之和为：
$x+x+x+2x+2x+3x=150°$
合并同类项得：$10x=150°$
解得：$x=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
角的计数，三等分线性质，角的和差运算
【点评】
本题的易错点是数锐角时出现漏数或多数的情况，解题核心是利用三等分线的性质将所有角统一用同一未知数表示，结合已知的角度和建立方程求解，是角的运算类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
3. 计算：
(1) $22° 30' × 8$；
(2) $176° 52' ÷ 3$。
(1) $22° 30' × 8$；
(2) $176° 52' ÷ 3$。
答案
(1)180° (2)58°57'20''
解析
【分析】
度分秒采用60进制，计算时需遵循其换算规则：1°=60'，1'=60''。(1)乘法运算思路：先将度、分分别与乘数相乘，再把分的计算结果满60就向上进1级转化为度，最后合并结果；(2)除法运算思路：从最高单位“度”开始除，得到的商作为度的部分，余数乘60转化为分后和原有的分相加，再除以除数得到分的部分，新的余数再乘60转化为秒后除以除数得到秒的部分，最后合并各部分结果即可。
【解析】
(1) 计算$22° 30' × 8$：
第一步，分别计算度和分乘8的结果：
$22°×8=176°$，$30'×8=240'$
第二步，将分的结果换算为度：
因为$60'=1°$，所以$240'=240÷60=4°$
第三步，合并结果：$176°+4°=180°$
(2) 计算$176° 52' ÷ 3$：
第一步，先算度的除法：
$176°÷3=58°$，余数为$176°-3×58°=2°$
第二步，将余数度转化为分，加原有分后再除：
$2°=2×60'=120'$，$120'+52'=172'$
$172'÷3=57'$，余数为$172'-3×57'=1'$
第三步，将余数分转化为秒再除：
$1'=1×60''=60''$，$60''÷3=20''$
第四步，合并结果：$58°+57'+20''=58°57'20''$
【答案】
(1)$180°$；(2)$58°57'20''$
【知识点】
度分秒的换算，角的乘法运算，角的除法运算
【点评】
本题核心考查度分秒的60进制运算规则，解题关键是区分度分秒运算和十进制运算的差异，乘法注意满60进1，除法注意将高位余数逐级转化为下级单位后再计算，避免因进制混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
度分秒采用60进制，计算时需遵循其换算规则：1°=60'，1'=60''。(1)乘法运算思路：先将度、分分别与乘数相乘，再把分的计算结果满60就向上进1级转化为度，最后合并结果；(2)除法运算思路：从最高单位“度”开始除，得到的商作为度的部分，余数乘60转化为分后和原有的分相加，再除以除数得到分的部分，新的余数再乘60转化为秒后除以除数得到秒的部分，最后合并各部分结果即可。
【解析】
(1) 计算$22° 30' × 8$：
第一步，分别计算度和分乘8的结果：
$22°×8=176°$，$30'×8=240'$
第二步，将分的结果换算为度：
因为$60'=1°$，所以$240'=240÷60=4°$
第三步，合并结果：$176°+4°=180°$
(2) 计算$176° 52' ÷ 3$：
第一步，先算度的除法：
$176°÷3=58°$，余数为$176°-3×58°=2°$
第二步，将余数度转化为分，加原有分后再除：
$2°=2×60'=120'$，$120'+52'=172'$
$172'÷3=57'$，余数为$172'-3×57'=1'$
第三步，将余数分转化为秒再除：
$1'=1×60''=60''$，$60''÷3=20''$
第四步，合并结果：$58°+57'+20''=58°57'20''$
【答案】
(1)$180°$；(2)$58°57'20''$
【知识点】
度分秒的换算，角的乘法运算，角的除法运算
【点评】
本题核心考查度分秒的60进制运算规则，解题关键是区分度分秒运算和十进制运算的差异，乘法注意满60进1，除法注意将高位余数逐级转化为下级单位后再计算，避免因进制混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
4. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOB = 40°, ∠DOE = 30°,那么∠BOD是多少度？
(2) 如果∠AOE = 150°, ∠COD = 30°,那么∠AOB是多少度？
学习盘点
(1) 如果∠AOB = 40°, ∠DOE = 30°,那么∠BOD是多少度？
(2) 如果∠AOE = 150°, ∠COD = 30°,那么∠AOB是多少度？
学习盘点
答案
(1)70° (2)45°
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个大小相等的角，已知OB是∠AOC的平分线，可得∠BOC=∠AOB；OD是∠COE的平分线，可得∠COD=∠DOE。观察图形可知∠BOD是∠BOC和∠COD的和，代入已知角度相加即可求出结果。
(2) 解题思路：先利用角平分线的性质，由∠COD的度数求出∠COE的总度数，再用∠AOE的度数减去∠COE的度数得到∠AOC的度数，最后根据OB是∠AOC的平分线，∠AOB等于∠AOC的一半，代入计算即可得到答案。
【解析】
(1)
∵ OB是∠AOC的平分线，∠AOB=40°
∴ ∠BOC=∠AOB=40°
∵ OD是∠COE的平分线，∠DOE=30°
∴ ∠COD=∠DOE=30°
∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°
(2)
∵ OD是∠COE的平分线，∠COD=30°
∴ ∠COE=2∠COD=2×30°=60°
∴ ∠AOC=∠AOE-∠COE=150°-60°=90°
又
∵ OB是∠AOC的平分线
∴ ∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×90°=45°
【答案】
(1)70°；(2)45°
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差运算
【点评】
本题属于角运算的基础题型，解题核心是准确利用角平分线的性质得到相等的角，再结合图形中角的和差关系列式计算，熟练掌握角平分线的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：首先根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个大小相等的角，已知OB是∠AOC的平分线，可得∠BOC=∠AOB；OD是∠COE的平分线，可得∠COD=∠DOE。观察图形可知∠BOD是∠BOC和∠COD的和，代入已知角度相加即可求出结果。
(2) 解题思路：先利用角平分线的性质，由∠COD的度数求出∠COE的总度数，再用∠AOE的度数减去∠COE的度数得到∠AOC的度数，最后根据OB是∠AOC的平分线，∠AOB等于∠AOC的一半，代入计算即可得到答案。
【解析】
(1)
∵ OB是∠AOC的平分线，∠AOB=40°
∴ ∠BOC=∠AOB=40°
∵ OD是∠COE的平分线，∠DOE=30°
∴ ∠COD=∠DOE=30°
∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°
(2)
∵ OD是∠COE的平分线，∠COD=30°
∴ ∠COE=2∠COD=2×30°=60°
∴ ∠AOC=∠AOE-∠COE=150°-60°=90°
又
∵ OB是∠AOC的平分线
∴ ∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×90°=45°
【答案】
(1)70°；(2)45°
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差运算
【点评】
本题属于角运算的基础题型，解题核心是准确利用角平分线的性质得到相等的角，再结合图形中角的和差关系列式计算，熟练掌握角平分线的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
什么叫角平分线？角的“度、分、秒”之间的运算应注意什么？
答案
解：
角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
角的度、分、秒之间的运算注意事项：
1. 度、分、秒为60进制，换算关系为$1°=60'$，$1'=60''$，并非十进制；
2. 进行加减运算时，同级单位分别对应计算：相加时数值满60要向高一级单位进1；相减时若低一级单位的数值不够减，需要从高一级单位借1，把借得的1换算为60个低一级单位的数值后再计算；
3. 进行乘除运算时，用乘数或除数分别对应度、分、秒计算：乘法运算中每一级单位的数值满60就向高一级单位进1；除法运算中若某一级单位出现余数，将余数乘60转化为下一级单位的数值后继续运算。
角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
角的度、分、秒之间的运算注意事项：
1. 度、分、秒为60进制，换算关系为$1°=60'$，$1'=60''$，并非十进制；
2. 进行加减运算时，同级单位分别对应计算：相加时数值满60要向高一级单位进1；相减时若低一级单位的数值不够减，需要从高一级单位借1，把借得的1换算为60个低一级单位的数值后再计算；
3. 进行乘除运算时，用乘数或除数分别对应度、分、秒计算：乘法运算中每一级单位的数值满60就向高一级单位进1；除法运算中若某一级单位出现余数，将余数乘60转化为下一级单位的数值后继续运算。
解析
【分析】
这道题分为两个基础问题，解题思路如下：1. 解答角平分线定义的问题时，要紧扣角的相关概念，明确角平分线的三个关键特征：①端点在角的顶点位置；②是一条射线；③可以将原角分割为两个完全相等的角，三个特征同时满足才是角平分线。2. 解答度分秒运算注意事项的问题时，首先要明确度、分、秒是60进制单位，和我们常用的十进制不同，再分别梳理加减、乘除不同运算场景下的规则即可。
【解析】
1. 角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
2. 角的度、分、秒之间的运算注意事项：
（1）度、分、秒为60进制，换算关系为$1°=60'$，$1'=60''$，并非十进制；
（2）进行加减运算时，同级单位分别对应计算：相加时数值满60要向高一级单位进1；相减时若低一级单位的数值不够减，需要从高一级单位借1，把借得的1换算为60个低一级单位的数值后再计算；
（3）进行乘除运算时，用乘数或除数分别对应度、分、秒计算：乘法运算中每一级单位的数值满60就向高一级单位进1；除法运算中若某一级单位出现余数，将余数乘60转化为下一级单位的数值后继续运算。
【答案】
角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
角的度、分、秒之间的运算注意事项：
1. 度、分、秒为60进制，换算关系为$1°=60'$，$1'=60''$，并非十进制；
2. 进行加减运算时，同级单位分别对应计算：相加时数值满60要向高一级单位进1；相减时若低一级单位的数值不够减，需要从高一级单位借1，把借得的1换算为60个低一级单位的数值后再计算；
3. 进行乘除运算时，用乘数或除数分别对应度、分、秒计算：乘法运算中每一级单位的数值满60就向高一级单位进1；除法运算中若某一级单位出现余数，将余数乘60转化为下一级单位的数值后继续运算。
【知识点】
角平分线的定义，度分秒的换算，度分秒的运算
【点评】
本题是角度相关知识的基础考察题，涉及的定义和运算规则是后续进行复杂角度计算的前提，需要准确识记并熟练运用。
【难度系数】
0.8
这道题分为两个基础问题，解题思路如下：1. 解答角平分线定义的问题时，要紧扣角的相关概念，明确角平分线的三个关键特征：①端点在角的顶点位置；②是一条射线；③可以将原角分割为两个完全相等的角，三个特征同时满足才是角平分线。2. 解答度分秒运算注意事项的问题时，首先要明确度、分、秒是60进制单位，和我们常用的十进制不同，再分别梳理加减、乘除不同运算场景下的规则即可。
【解析】
1. 角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
2. 角的度、分、秒之间的运算注意事项：
（1）度、分、秒为60进制，换算关系为$1°=60'$，$1'=60''$，并非十进制；
（2）进行加减运算时，同级单位分别对应计算：相加时数值满60要向高一级单位进1；相减时若低一级单位的数值不够减，需要从高一级单位借1，把借得的1换算为60个低一级单位的数值后再计算；
（3）进行乘除运算时，用乘数或除数分别对应度、分、秒计算：乘法运算中每一级单位的数值满60就向高一级单位进1；除法运算中若某一级单位出现余数，将余数乘60转化为下一级单位的数值后继续运算。
【答案】
角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
角的度、分、秒之间的运算注意事项：
1. 度、分、秒为60进制，换算关系为$1°=60'$，$1'=60''$，并非十进制；
2. 进行加减运算时，同级单位分别对应计算：相加时数值满60要向高一级单位进1；相减时若低一级单位的数值不够减，需要从高一级单位借1，把借得的1换算为60个低一级单位的数值后再计算；
3. 进行乘除运算时，用乘数或除数分别对应度、分、秒计算：乘法运算中每一级单位的数值满60就向高一级单位进1；除法运算中若某一级单位出现余数，将余数乘60转化为下一级单位的数值后继续运算。
【知识点】
角平分线的定义，度分秒的换算，度分秒的运算
【点评】
本题是角度相关知识的基础考察题，涉及的定义和运算规则是后续进行复杂角度计算的前提，需要准确识记并熟练运用。
【难度系数】
0.8
1.下列关于角平分线的说法中，正确的是(
A.平分角的一条线段
B.平分一个角的一条直线
C.以一个角的顶点为端点且把这个角分成相等的两个角的一条线段
D.以一个角的顶点为端点且把这个角分成相等的两个角的一条射线
D
)A.平分角的一条线段
B.平分一个角的一条直线
C.以一个角的顶点为端点且把这个角分成相等的两个角的一条线段
D.以一个角的顶点为端点且把这个角分成相等的两个角的一条射线
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要回忆角平分线的定义，明确角平分线的三个核心特征：①端点是角的顶点；②属于射线；③能把角分成两个相等的角。再结合线段、直线、射线的区别逐一排查每个选项，排除不符合特征的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
对各选项逐一判断：
A选项：角平分线不是线段，且未说明以角的顶点为端点、能将角分成两个相等的角，不符合定义，错误；
B选项：角平分线不是直线，直线没有端点，不符合“以角的顶点为端点”的要求，错误；
C选项：角平分线是射线，不是线段，错误；
D选项：完全符合角平分线的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，射线的特征
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对概念细节的区分，要注意角平分线是射线，不要和三角形的角平分线（线段）混淆，牢记定义的核心要素即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆角平分线的定义，明确角平分线的三个核心特征：①端点是角的顶点；②属于射线；③能把角分成两个相等的角。再结合线段、直线、射线的区别逐一排查每个选项，排除不符合特征的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
对各选项逐一判断：
A选项：角平分线不是线段，且未说明以角的顶点为端点、能将角分成两个相等的角，不符合定义，错误；
B选项：角平分线不是直线，直线没有端点，不符合“以角的顶点为端点”的要求，错误；
C选项：角平分线是射线，不是线段，错误；
D选项：完全符合角平分线的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，射线的特征
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对概念细节的区分，要注意角平分线是射线，不要和三角形的角平分线（线段）混淆，牢记定义的核心要素即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
