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设计美丽的镶嵌图案
项目学习：生活中的镶嵌
【知识储备】
（1）对于正n边形，每个内角的度数是；
（2）镶嵌的条件：公共顶点处所有角的和为°，并使相等的边重合。
【任务一：寻找镶嵌】
（1）下列正多边形中，能够单独镶嵌平面的是。（多选）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 E. 正八边形
（2）公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中∠C=∠E=90°，∠A=∠B=∠D，则∠A的度数为。
【任务二：创作镶嵌】
八年级一班数学“智慧小组”提出：用“正方形＋正八边形”的镶嵌方案，数学“挑战小组”提出：用“正方形＋正六边形”的镶嵌方案。请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证：
验证方案：
（1）“智慧小组”的方案（正方形＋正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程，可以找到方程的正整数解为；
（2）“挑战小组”的方案（正方形＋正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程，发现方程（填“有”或“无”）正整数解。
结论：由上可得，可行的方案是“”（填“智慧”或“挑战”）小组的方案。
【任务三：应用镶嵌】
某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合镶嵌（边长相同）。已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌。请你设计两种共顶点组合镶嵌方案，并画出示意图。
方案1：用两种正多边形（只画一种情况）；方案2：用三种正多边形。
项目学习：生活中的镶嵌
【知识储备】
（1）对于正n边形，每个内角的度数是；
（2）镶嵌的条件：公共顶点处所有角的和为°，并使相等的边重合。
【任务一：寻找镶嵌】
（1）下列正多边形中，能够单独镶嵌平面的是。（多选）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 E. 正八边形
（2）公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中∠C=∠E=90°，∠A=∠B=∠D，则∠A的度数为。
【任务二：创作镶嵌】
八年级一班数学“智慧小组”提出：用“正方形＋正八边形”的镶嵌方案，数学“挑战小组”提出：用“正方形＋正六边形”的镶嵌方案。请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证：
验证方案：
（1）“智慧小组”的方案（正方形＋正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程，可以找到方程的正整数解为；
（2）“挑战小组”的方案（正方形＋正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程，发现方程（填“有”或“无”）正整数解。
结论：由上可得，可行的方案是“”（填“智慧”或“挑战”）小组的方案。
【任务三：应用镶嵌】
某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合镶嵌（边长相同）。已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌。请你设计两种共顶点组合镶嵌方案，并画出示意图。
方案1：用两种正多边形（只画一种情况）；方案2：用三种正多边形。
答案
【知识储备】
1. $\frac{(n-2)· 180°}{n}$
2. 360
【任务一：寻找镶嵌】
1. ABD
2. 120°
【任务二：创作镶嵌】
1. $90x+135y=360$，$\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$
2. $90m+120n=360$，无，智慧
【任务三：应用镶嵌】方案设计合理即可，示意图见
解析
【分析】
本题围绕平面镶嵌的核心知识点展开，解题思路可按模块逐步推进：1. 先掌握基础概念：牢记正n边形内角计算公式、平面镶嵌的核心条件（公共顶点处角度和为360°），这是解决所有问题的前提；2. 判断单独镶嵌的正多边形时，只需验证该正多边形的内角是否能整除360°即可；3. 计算特殊五边形内角时，利用多边形内角和公式列等式求解；4. 两种正多边形组合镶嵌的可行性判断，可通过设未知数列二元一次方程，寻找是否存在正整数解来判断；5. 设计镶嵌方案时，只要让共顶点处各正多边形内角和为360°即可。
【解析】
知识储备
（1）正n边形的内角和为$(n-2)·180°$，且n个内角相等，因此每个内角的度数为$\frac{(n-2)·180°}{n}$；
（2）平面镶嵌的核心要求是公共顶点处所有角的和为周角，即$360°$，同时保证相等的边重合。
---
任务一：寻找镶嵌
（1）分别计算各正多边形的内角度数，判断是否能整除360°：
正三角形内角为$60°$，$360°÷60°=6$，可单独镶嵌；
正方形内角为$90°$，$360°÷90°=4$，可单独镶嵌；
正五边形内角为$108°$，$360°÷108°$结果不是整数，不可单独镶嵌；
正六边形内角为$120°$，$360°÷120°=3$，可单独镶嵌；
正八边形内角为$135°$，$360°÷135°$结果不是整数，不可单独镶嵌；
因此选ABD。
（2）五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，由题意得$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=540°$，已知$∠ C=∠ E=90°$，$∠ A=∠ B=∠ D$，代入得$3∠ A + 90°×2=540°$，解得$∠ A=120°$。
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任务二：创作镶嵌
（1）正方形内角为90°，正八边形内角为135°，根据公共顶点角度和为360°，列方程：$90x+135y=360$，化简得$2x+3y=8$，寻找正整数解：当$y=2$时，$2x=8-6=2$，得$x=1$，因此正整数解为$\begin{cases} x=1\\ y=2 \end{cases}$。
（2）正方形内角为90°，正六边形内角为120°，列方程：$90m+120n=360$，化简得$3m+4n=12$，尝试正整数取值：$n=1$时$3m=8$，无正整数解；$n=2$时$3m=4$，无正整数解；$n≥3$时$4n≥12$，m为非正整数，因此方程无正整数解。综上，智慧小组的方案可行。
---
任务三：应用镶嵌
合理方案示例：
方案1（两种正多边形）：3个正三角形+2个正方形（$3×60°+2×90°=360°$）；
方案2（三种正多边形）：1个正三角形+2个正方形+1个正六边形（$60°+2×90°+120°=360°$）。
【答案】
【知识储备】
1. $\frac{(n-2)· 180°}{n}$
2. 360
【任务一：寻找镶嵌】
1. ABD
2. 120°
【任务二：创作镶嵌】
1. $90x+135y=360$，$\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$
2. $90m+120n=360$，无，智慧
【任务三：应用镶嵌】方案设计合理即可，示意图见
【知识点】
1. 正多边形内角计算
2. 平面镶嵌条件
3. 二元一次方程的正整数解
【点评】
本题以生活中的镶嵌问题为载体，从基础概念识记到实际应用设计逐层递进，既考查了多边形相关基础公式的掌握，也考查了方程思想的运用和实践创新能力，兼具知识性和趣味性，能帮助学生理解数学在生活中的实际应用。
【难度系数】
0.7
本题围绕平面镶嵌的核心知识点展开，解题思路可按模块逐步推进：1. 先掌握基础概念：牢记正n边形内角计算公式、平面镶嵌的核心条件（公共顶点处角度和为360°），这是解决所有问题的前提；2. 判断单独镶嵌的正多边形时，只需验证该正多边形的内角是否能整除360°即可；3. 计算特殊五边形内角时，利用多边形内角和公式列等式求解；4. 两种正多边形组合镶嵌的可行性判断，可通过设未知数列二元一次方程，寻找是否存在正整数解来判断；5. 设计镶嵌方案时，只要让共顶点处各正多边形内角和为360°即可。
【解析】
知识储备
（1）正n边形的内角和为$(n-2)·180°$，且n个内角相等，因此每个内角的度数为$\frac{(n-2)·180°}{n}$；
（2）平面镶嵌的核心要求是公共顶点处所有角的和为周角，即$360°$，同时保证相等的边重合。
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任务一：寻找镶嵌
（1）分别计算各正多边形的内角度数，判断是否能整除360°：
正三角形内角为$60°$，$360°÷60°=6$，可单独镶嵌；
正方形内角为$90°$，$360°÷90°=4$，可单独镶嵌；
正五边形内角为$108°$，$360°÷108°$结果不是整数，不可单独镶嵌；
正六边形内角为$120°$，$360°÷120°=3$，可单独镶嵌；
正八边形内角为$135°$，$360°÷135°$结果不是整数，不可单独镶嵌；
因此选ABD。
（2）五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，由题意得$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=540°$，已知$∠ C=∠ E=90°$，$∠ A=∠ B=∠ D$，代入得$3∠ A + 90°×2=540°$，解得$∠ A=120°$。
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任务二：创作镶嵌
（1）正方形内角为90°，正八边形内角为135°，根据公共顶点角度和为360°，列方程：$90x+135y=360$，化简得$2x+3y=8$，寻找正整数解：当$y=2$时，$2x=8-6=2$，得$x=1$，因此正整数解为$\begin{cases} x=1\\ y=2 \end{cases}$。
（2）正方形内角为90°，正六边形内角为120°，列方程：$90m+120n=360$，化简得$3m+4n=12$，尝试正整数取值：$n=1$时$3m=8$，无正整数解；$n=2$时$3m=4$，无正整数解；$n≥3$时$4n≥12$，m为非正整数，因此方程无正整数解。综上，智慧小组的方案可行。
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任务三：应用镶嵌
合理方案示例：
方案1（两种正多边形）：3个正三角形+2个正方形（$3×60°+2×90°=360°$）；
方案2（三种正多边形）：1个正三角形+2个正方形+1个正六边形（$60°+2×90°+120°=360°$）。
【答案】
【知识储备】
1. $\frac{(n-2)· 180°}{n}$
2. 360
【任务一：寻找镶嵌】
1. ABD
2. 120°
【任务二：创作镶嵌】
1. $90x+135y=360$，$\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$
2. $90m+120n=360$，无，智慧
【任务三：应用镶嵌】方案设计合理即可，示意图见
【知识点】
1. 正多边形内角计算
2. 平面镶嵌条件
3. 二元一次方程的正整数解
【点评】
本题以生活中的镶嵌问题为载体，从基础概念识记到实际应用设计逐层递进，既考查了多边形相关基础公式的掌握，也考查了方程思想的运用和实践创新能力，兼具知识性和趣味性，能帮助学生理解数学在生活中的实际应用。
【难度系数】
0.7
