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7. [2026淮北期中]如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是20 cm，当小明从水平位置CD上升10 cm时，小敏离地面的高度是 (
A.20 cm
B.10 cm
C.30 cm
D.25 cm
B
)A.20 cm
B.10 cm
C.30 cm
D.25 cm
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：O是跷跷板中点，故OC=OD；支点O到地面高度为20cm，水平状态下C、D两端离地面高度均等于O到地面的高度。要计算小敏离地面的高度，需先判断小明上升高度与小敏下降高度的关系：可通过构造直角三角形，利用全等三角形的判定证明两个三角形全等，从而得到二者升降高度相等，再结合初始高度计算即可。
【解析】
设转动后C端上升、D端下降，分别过转动后的C、D作水平参考线的垂线，垂足分别为E、F：
1. 由O是跷跷板中点，可得$OC=OD$；
2. 对顶角相等，故$∠COE=∠DOF$；
3. 所作垂线均与水平参考线垂直，故$∠CEO=∠DFO=90°$；
4. 根据AAS判定可得$△ COE ≌ △ DOF$，由全等三角形对应边相等得$CE=DF=10\mathrm{cm}$，即小敏从水平位置下降了10cm；
5. 水平位置时D端离地面高度等于支点O到地面的高度20cm，因此小敏现在离地面的高度为$20-10=10\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，中点的定义
【点评】
本题结合生活中的跷跷板场景考查全等三角形的实际应用，解题的核心是通过构造全等三角形得到两端升降高度的等量关系，将生活问题转化为几何全等问题求解，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：O是跷跷板中点，故OC=OD；支点O到地面高度为20cm，水平状态下C、D两端离地面高度均等于O到地面的高度。要计算小敏离地面的高度，需先判断小明上升高度与小敏下降高度的关系：可通过构造直角三角形，利用全等三角形的判定证明两个三角形全等，从而得到二者升降高度相等，再结合初始高度计算即可。
【解析】
设转动后C端上升、D端下降，分别过转动后的C、D作水平参考线的垂线，垂足分别为E、F：
1. 由O是跷跷板中点，可得$OC=OD$；
2. 对顶角相等，故$∠COE=∠DOF$；
3. 所作垂线均与水平参考线垂直，故$∠CEO=∠DFO=90°$；
4. 根据AAS判定可得$△ COE ≌ △ DOF$，由全等三角形对应边相等得$CE=DF=10\mathrm{cm}$，即小敏从水平位置下降了10cm；
5. 水平位置时D端离地面高度等于支点O到地面的高度20cm，因此小敏现在离地面的高度为$20-10=10\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，中点的定义
【点评】
本题结合生活中的跷跷板场景考查全等三角形的实际应用，解题的核心是通过构造全等三角形得到两端升降高度的等量关系，将生活问题转化为几何全等问题求解，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
8. 能力训练点·逻辑推理与论证 如图，AD是△ABC的中线，DE＝DF.下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面积相等；③BF//CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AD是△ABC的中线，可得BD=CD，结合中线的性质可判断②是否正确；再看已知DE=DF，结合对顶角相等，可先用SAS判定△BDF和△CDE是否全等，再根据全等三角形的性质判断对应边、对应角的关系，进而推导CE和BF的数量关系、位置关系，逐一验证4个说法即可。
【解析】
1. 验证②：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD与△ACD等底（BD=CD）、同高（点A到BC的垂线段长度），因此面积相等，故②正确。
2. 验证④：
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD（已证）\\ ∠ BDF=∠ CDE（对顶角相等）\\ DF=DE（已知）\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确。
3. 验证①：
∵△BDF≌△CDE，根据全等三角形对应边相等，可得CE=BF，故①正确。
4. 验证③：
∵△BDF≌△CDE，
∴∠DBF=∠DCE，这两个角是BF、CE被BC所截形成的内错角，内错角相等则两直线平行，因此BF//CE，故③正确。
综上，①②③④4个说法均正确。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形中线、全等三角形、平行线的判定知识点结合考查，只要熟练掌握相关定理，按逻辑逐步推导即可得出结论。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先AD是△ABC的中线，可得BD=CD，结合中线的性质可判断②是否正确；再看已知DE=DF，结合对顶角相等，可先用SAS判定△BDF和△CDE是否全等，再根据全等三角形的性质判断对应边、对应角的关系，进而推导CE和BF的数量关系、位置关系，逐一验证4个说法即可。
【解析】
1. 验证②：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD与△ACD等底（BD=CD）、同高（点A到BC的垂线段长度），因此面积相等，故②正确。
2. 验证④：
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD（已证）\\ ∠ BDF=∠ CDE（对顶角相等）\\ DF=DE（已知）\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确。
3. 验证①：
∵△BDF≌△CDE，根据全等三角形对应边相等，可得CE=BF，故①正确。
4. 验证③：
∵△BDF≌△CDE，
∴∠DBF=∠DCE，这两个角是BF、CE被BC所截形成的内错角，内错角相等则两直线平行，因此BF//CE，故③正确。
综上，①②③④4个说法均正确。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形中线、全等三角形、平行线的判定知识点结合考查，只要熟练掌握相关定理，按逻辑逐步推导即可得出结论。
【难度系数】
0.7
9.如图，CA平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为
82°
.答案
9.82°
解析
【分析】
首先根据角平分线的性质得到一组相等的角，结合已知的边相等条件和公共边，用SAS判定定理证明△ACD和△ACB全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；再根据D、A、E三点共线，结合已知的∠EAC的度数先求出∠DAC的度数，最后通过角的和差关系计算∠BAE的度数即可。
【解析】
解：
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠BCA，
在△ACD和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}CD=CB \\∠DCA=∠BCA \\AC=AC\end{array} $
∴△ACD≌△ACB（SAS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵D、A、E在同一直线上，∠EAC=49°，
∴∠DAC=180°-∠EAC=180°-49°=131°，
∴∠BAC=131°，
∴∠BAE=∠BAC - ∠EAC=131°-49°=82°。
【答案】
82°
【知识点】
SAS判定三角形全等，角平分线的性质，角度和差计算
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合基础题，解题核心是通过全等三角形转换等角，再结合邻补角的性质完成角度推导，解题时注意挖掘图中隐含的公共边、三点共线等条件。
【难度系数】
0.7
首先根据角平分线的性质得到一组相等的角，结合已知的边相等条件和公共边，用SAS判定定理证明△ACD和△ACB全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；再根据D、A、E三点共线，结合已知的∠EAC的度数先求出∠DAC的度数，最后通过角的和差关系计算∠BAE的度数即可。
【解析】
解：
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠BCA，
在△ACD和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}CD=CB \\∠DCA=∠BCA \\AC=AC\end{array} $
∴△ACD≌△ACB（SAS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵D、A、E在同一直线上，∠EAC=49°，
∴∠DAC=180°-∠EAC=180°-49°=131°，
∴∠BAC=131°，
∴∠BAE=∠BAC - ∠EAC=131°-49°=82°。
【答案】
82°
【知识点】
SAS判定三角形全等，角平分线的性质，角度和差计算
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合基础题，解题核心是通过全等三角形转换等角，再结合邻补角的性质完成角度推导，解题时注意挖掘图中隐含的公共边、三点共线等条件。
【难度系数】
0.7
10.如图，C，A，O，B 四点在同一条直线上，点D在线段OE上，且$OA=OD$，$AC=DE$，连接CD，AE。
(1)求证：$AE=CD$；
(2)写出$∠1$，$∠2$和$∠C$三者间的数量关系，并说明理由。
(1)求证：$AE=CD$；
(2)写出$∠1$，$∠2$和$∠C$三者间的数量关系，并说明理由。
答案
10.(1)证明：略. (2)解：∠2=∠1+∠C.理由略.
解析
【分析】
(1) 要证明线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。已知$OA=OD$、$AC=DE$，先通过线段和的关系推导得到$OC=OE$，再结合公共角$∠ COD=∠ EOA$，即可用SAS判定$△ COD$和$△ EOA$全等，进而得到$AE=CD$。
(2) 探究角度数量关系时，先利用全等三角形的对应角相等得到$∠ C=∠ E$，再结合三角形外角的性质以及等腰三角形的角的关系，即可推出三个角的等量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because OA=OD$，$AC=DE$，
$\therefore OA+AC=OD+DE$，即 $OC=OE$。
在$△ COD$和$△ EOA$中：
$\begin{cases}OC=OE \\∠ COD=∠ EOA \quad (\mathrm{公共角}) \\OD=OA\end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ EOA \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CD$。
(2) 解：$∠ 2=∠ 1+∠ C$，理由如下：
由(1)得$△ COD ≌ △ EOA$，
$\therefore ∠ C=∠ E$。
$\because ∠ 2$是$△ AOE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
$\therefore ∠ 2=∠ 1+∠ E$，
将$∠ E=∠ C$代入得$∠ 2=∠ 1+∠ C$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{∠2=∠1+∠C}$，理由见上述解析。
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，既考查了全等三角形的判定和性质，也结合了三角形外角的性质，解题时要注意从已知条件出发，找到全等三角形的判定条件，再结合相关性质推导角度关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。已知$OA=OD$、$AC=DE$，先通过线段和的关系推导得到$OC=OE$，再结合公共角$∠ COD=∠ EOA$，即可用SAS判定$△ COD$和$△ EOA$全等，进而得到$AE=CD$。
(2) 探究角度数量关系时，先利用全等三角形的对应角相等得到$∠ C=∠ E$，再结合三角形外角的性质以及等腰三角形的角的关系，即可推出三个角的等量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because OA=OD$，$AC=DE$，
$\therefore OA+AC=OD+DE$，即 $OC=OE$。
在$△ COD$和$△ EOA$中：
$\begin{cases}OC=OE \\∠ COD=∠ EOA \quad (\mathrm{公共角}) \\OD=OA\end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ EOA \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CD$。
(2) 解：$∠ 2=∠ 1+∠ C$，理由如下：
由(1)得$△ COD ≌ △ EOA$，
$\therefore ∠ C=∠ E$。
$\because ∠ 2$是$△ AOE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
$\therefore ∠ 2=∠ 1+∠ E$，
将$∠ E=∠ C$代入得$∠ 2=∠ 1+∠ C$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{∠2=∠1+∠C}$，理由见上述解析。
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，既考查了全等三角形的判定和性质，也结合了三角形外角的性质，解题时要注意从已知条件出发，找到全等三角形的判定条件，再结合相关性质推导角度关系。
【难度系数】
0.7
11. 模型观念 已知$∠ ABC=90°$，$D$是直线$AB$上的点，$AD=BC$，作$FA⊥ AB$于点$A$，且$AF=BD$，连接$DC$，$DF$.
(1)自主探究:如图①，当点$D$在线段$AB$上，点$F$在点$A$右侧时，$DF$与$DC$的数量关系为
(2)思考拓展:如图②，当点$D$在线段$AB$的延长线上，点$F$在点$A$的左侧时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.
(3)能力提升:当点$D$在线段$BA$的延长线上，点$F$在点$A$的右 侧时，(1)中的两个结论依然成立.若此时$BC=2$，$AB=1$，则$AF$的长度为
(1)自主探究:如图①，当点$D$在线段$AB$上，点$F$在点$A$右侧时，$DF$与$DC$的数量关系为
DF=DC
，位置关系为DF⊥DC
.(2)思考拓展:如图②，当点$D$在线段$AB$的延长线上，点$F$在点$A$的左侧时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.
(3)能力提升:当点$D$在线段$BA$的延长线上，点$F$在点$A$的
3
.答案
11.解：(1)$DF=DC$；$DF⊥DC$ (2)成立.理由略. (3)左；3
解析
【分析】
(1) 要判断DF与DC的关系，先观察已知条件：FA⊥AB、∠ABC=90°可得∠FAD=∠B=90°，又有AD=BC、AF=BD，可通过SAS判定△FAD≌△DBC，利用全等性质得到边的数量关系，再通过角的和差推导位置关系。
(2) 点D在AB延长线上时，∠FAD和∠DBC仍为直角，AD=BC、AF=BD的条件不变，仍可通过SAS证明两个三角形全等，仿照(1)的思路即可验证结论是否成立。
(3) 由AD=BC先得到AD的长度，结合点D在BA延长线上的位置求出BD的长度，再根据全等三角形对应边相等，即可得AF的长度。
【解析】
(1)
∵FA⊥AB，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠B=90°。
在$△ FAD$和$△ DBC$中：
$\begin{cases} AF=BD \\ ∠ FAD=∠ B \\ AD=BC \end{cases}$
∴$△ FAD ≌ △ DBC$（SAS），
∴$DF=DC$，$∠ ADF=∠ BCD$。
∵在$Rt△ DBC$中，$∠ BCD + ∠ CDB = 90°$，
∴$∠ ADF + ∠ CDB = 90°$，
∴$∠ FDC = 180° - (∠ ADF + ∠ CDB) = 90°$，即$DF⊥ DC$。
(2) 成立，理由如下：
∵FA⊥AB，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC=90°。
在$△ FAD$和$△ DBC$中：
$\begin{cases} AF=BD \\ ∠ FAD=∠ DBC \\ AD=BC \end{cases}$
∴$△ FAD ≌ △ DBC$（SAS），
∴$DF=DC$，$∠ ADF=∠ BCD$。
∵在$Rt△ DBC$中，$∠ BCD + ∠ CDB = 90°$，
∴$∠ ADF + ∠ CDB = 90°$，
∴$∠ FDC = 90°$，即$DF⊥ DC$，故(1)中结论仍成立。
(3) 由题意得$AD=BC=2$，
∵点D在线段BA的延长线上，
∴$BD = AB + AD = 1 + 2 = 3$，
由$△ FAD ≌ △ DBC$得$AF=BD$，
∴$AF=3$。
【答案】
(1) $DF=DC$；$DF⊥ DC$
(2) 成立，理由见解析
(3) $3$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是动态几何类问题，核心是抓住点位置变化过程中不变的边相等、直角相等的条件，通过证明三角形全等推导边与角的关系，对几何推理能力和模型观念有一定考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断DF与DC的关系，先观察已知条件：FA⊥AB、∠ABC=90°可得∠FAD=∠B=90°，又有AD=BC、AF=BD，可通过SAS判定△FAD≌△DBC，利用全等性质得到边的数量关系，再通过角的和差推导位置关系。
(2) 点D在AB延长线上时，∠FAD和∠DBC仍为直角，AD=BC、AF=BD的条件不变，仍可通过SAS证明两个三角形全等，仿照(1)的思路即可验证结论是否成立。
(3) 由AD=BC先得到AD的长度，结合点D在BA延长线上的位置求出BD的长度，再根据全等三角形对应边相等，即可得AF的长度。
【解析】
(1)
∵FA⊥AB，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠B=90°。
在$△ FAD$和$△ DBC$中：
$\begin{cases} AF=BD \\ ∠ FAD=∠ B \\ AD=BC \end{cases}$
∴$△ FAD ≌ △ DBC$（SAS），
∴$DF=DC$，$∠ ADF=∠ BCD$。
∵在$Rt△ DBC$中，$∠ BCD + ∠ CDB = 90°$，
∴$∠ ADF + ∠ CDB = 90°$，
∴$∠ FDC = 180° - (∠ ADF + ∠ CDB) = 90°$，即$DF⊥ DC$。
(2) 成立，理由如下：
∵FA⊥AB，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC=90°。
在$△ FAD$和$△ DBC$中：
$\begin{cases} AF=BD \\ ∠ FAD=∠ DBC \\ AD=BC \end{cases}$
∴$△ FAD ≌ △ DBC$（SAS），
∴$DF=DC$，$∠ ADF=∠ BCD$。
∵在$Rt△ DBC$中，$∠ BCD + ∠ CDB = 90°$，
∴$∠ ADF + ∠ CDB = 90°$，
∴$∠ FDC = 90°$，即$DF⊥ DC$，故(1)中结论仍成立。
(3) 由题意得$AD=BC=2$，
∵点D在线段BA的延长线上，
∴$BD = AB + AD = 1 + 2 = 3$，
由$△ FAD ≌ △ DBC$得$AF=BD$，
∴$AF=3$。
【答案】
(1) $DF=DC$；$DF⊥ DC$
(2) 成立，理由见解析
(3) $3$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是动态几何类问题，核心是抓住点位置变化过程中不变的边相等、直角相等的条件，通过证明三角形全等推导边与角的关系，对几何推理能力和模型观念有一定考查。
【难度系数】
0.7
