1. 对于某些三角形,我们除了可以用面积公式或割补法来求面积外,还可以用“铅垂法”求面积:三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半,即 $ S=\frac{1}{2}dh $,如图①.

(1)已知:如图②,点 $ A(-5,3),B(4,0),C(0,6) $,则 $ △ ABC $ 的水平宽为,铅垂高为,所以 $ △ ABC $ 的面积为.
(2)如图③,在平面直角坐标系中,抛物线的表达式为 $ y=-x^2+2x+3 $,点 $ B $ 为抛物线的顶点,图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $,与 $ x $ 轴交于 $ E,C $ 两点, $ BD $ 为 $ △ ABC $ 的铅垂高,延长 $ BD $ 交 $ x $ 轴于点 $ F $,则顶点 $ B $ 的坐标为,铅垂高 $ BD= $, $ △ ABC $ 的面积为.

1.(1)9 $\frac{14}{3}$ 21 (2)(1,4) 2 3

【分析】
本题考查铅垂法求三角形面积的应用，解题思路如下：
（1）首先明确水平宽是三角形横坐标最小的点和横坐标最大的点的横坐标差值；铅垂高是过横坐标介于两者之间的点作铅垂线，该点到铅垂线与对边交点的线段长度，最后代入$S=\frac{1}{2}dh$计算面积即可。
（2）先通过配方法求出抛物线顶点坐标，再求出直线AC的解析式，计算顶点横坐标对应直线AC的函数值，顶点纵坐标与该值的差即为铅垂高，再确定水平宽后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) ①求水平宽：点A横坐标为-5，点B横坐标为4，是三个点中横坐标的最小值和最大值，因此水平宽$d=4-(-5)=9$；
②求直线AB解析式：设直线AB为$y=kx+b$，将$A(-5,3)$、$B(4,0)$代入得：
$\begin{cases}3=-5k+b\\0=4k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3}\\b=\frac{4}{3}\end{cases}$，即直线AB：$y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$；
③求铅垂高：点C横坐标为0，代入直线AB得$y=\frac{4}{3}$，因此铅垂高$h=6-\frac{4}{3}=\frac{14}{3}$；
④求三角形面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}dh=\frac{1}{2}×9×\frac{14}{3}=21$。
(2) ①求顶点B坐标：对抛物线$y=-x^2+2x+3$配方得$y=-(x-1)^2+4$，因此顶点B坐标为$(1,4)$；
②求A、C坐标：令$x=0$得$y=3$，即$A(0,3)$；令$y=0$，$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即$C(3,0)$；
③求直线AC解析式：设直线AC为$y=mx+n$，代入$A(0,3)$、$C(3,0)$得$n=3$，$3m+3=0$，解得$m=-1$，即直线AC：$y=-x+3$；
④求铅垂高BD：BD为$x=1$处的铅垂高，将$x=1$代入直线AC得$y=-1+3=2$，因此$BD=4-2=2$；
⑤求三角形面积：水平宽$d=3-0=3$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1)$9$；$\frac{14}{3}$；$21$ (2)$(1,4)$；$2$；$3$
【知识点】
铅垂法求面积；一次函数解析式求解；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数面积类问题的基础题型，核心是掌握铅垂法中水平宽、铅垂高的定义，结合一次函数、二次函数的基本性质即可求解，该方法是解决二次函数与面积综合题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

2. (2025·济南模拟)如图，抛物线$y=ax^2-2x+c$与x轴交于$A(-1,0)$，B两点，与y轴交于点$C(0,-3)$。线段BC下方的抛物线上是否存在一点E，使$S_{△ BCE}=\frac{1}{3}S_{四边形ACEB}$？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

进一步挑战进阶专题:P29 专题27,P30 专题28

将$A(-1,0),C(0,-3)$代入抛物线表达式中得$\begin{cases}a+2+c=0,\\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\c=-3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为 $y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$.
∵ $S_{△BCE} = \frac{1}{3}S_{四边形ACEB} = \frac{1}{3}(S_{△ABC} + S_{△BCE})$,
∴ $\frac{1}{2}S_{△ABC} = S_{△BCE}$.
在 $y=x^2-2x-3$ 中,当 $y=x^2-2x-3=0$ 时,解得 $x=3$ 或 $x=-1$,
∴ $B(3,0)$,
∴ $AB=4$,
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·OC = \frac{1}{2}×4×3 = 6$,
∴ $S_{△BCE}=3$.
设直线BC表达式为 $y=sx+t$,则 $\begin{cases}3s+t=0,\\t=-3,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}s=1,\\t=-3,\end{cases}$
∴ 直线BC表达式为 $y=x-3$,如图所示,过点E作 $EF// y$ 轴交BC于F,设 $E(e,e^2-2e-3)$,则 $F(e,e-3)$,则 $S_{△BCE} = \frac{1}{2}×3×[(e-3)-(e^2-2e-3)] = 3$,解得 $e=1$ 或 $e=2$,
∴ $E(1,-4)$ 或 $E(2,-3)$.

【分析】
解题首先利用已知的A、C两点坐标代入抛物线表达式，通过解方程组求出待定系数a、c，得到抛物线的解析式；再对题目给出的面积关系进行转化，推导得出△BCE和△ABC的面积数量关系；接着求出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，计算△ABC的面积，进而得到△BCE的面积；之后用待定系数法求出直线BC的解析式，采用铅垂法（宽高法）处理△BCE的面积：过E作EF平行于y轴交BC于F，设出E点坐标，用E、F的纵坐标差表示铅垂高EF，结合B、C的水平距离作为水平宽，列出面积方程求解，最终得到符合要求的E点坐标。
【解析】
1. 求抛物线解析式：
将$A(-1,0)$、$C(0,-3)$代入$y=ax^2-2x+c$，得方程组：
$\begin{cases}a+2+c=0\\c=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\c=-3\end{cases}$，因此抛物线的表达式为$y = x^2 - 2x - 3$。
2. 转化面积关系：
已知$S_{△ BCE} = \frac{1}{3}S_{四边形ACEB}$，且$S_{四边形ACEB} = S_{△ ABC} + S_{△ BCE}$，代入得：
$S_{△ BCE} = \frac{1}{3}(S_{△ ABC} + S_{△ BCE})$
整理得$2S_{△ BCE}=S_{△ ABC}$，即$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
3. 求B点坐标，计算三角形面积：
令$y=x^2-2x-3=0$，解得$x=-1$或$x=3$，因此B点坐标为$(3,0)$。
则$AB=3-(-1)=4$，$OC=3$，因此$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB·OC = \frac{1}{2}×4×3 = 6$，可得$S_{△ BCE}=3$。
4. 求直线BC解析式，列方程求解E点坐标：
设直线BC的表达式为$y=sx+t$，将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}3s+t=0\\t=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}s=1\\t=-3\end{cases}$，因此直线BC的表达式为$y=x-3$。
，过点E作$EF// y$轴交BC于F，设$E(e,e^2-2e-3)$（$0＜e＜3$，保证E在BC下方抛物线上），则$F(e,e-3)$。
铅垂高$EF=(e-3)-(e^2-2e-3)=-e^2+3e$，△BCE的水平宽为3，因此：
$S_{△ BCE} = \frac{1}{2}×3×(-e^2+3e) = 3$
整理得$e^2-3e+2=0$，解得$e=1$或$e=2$。
将$e=1$代入抛物线解析式得$y=-4$，即$E(1,-4)$；将$e=2$代入抛物线解析式得$y=-3$，即$E(2,-3)$，两个点均符合题意。
【答案】
存在，点E的坐标为$(1,-4)$或$(2,-3)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与面积结合的典型题型，重点考察铅垂法求解坐标系中三角形面积的方法，解题关键是先转化面积关系确定目标三角形的面积，再通过设点坐标表示铅垂高列方程求解，能有效锻炼学生的图形分析能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6