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1. 用心填一填。
(1)把一个圆平均分成若干份(偶数份),剪开后可以拼成一个近似的长方形。如果拼成的近似长方形的周长比圆的周长增加了12 cm,则这个圆的面积是()cm²。
(2)某公园草地中心安装了一种最大射程为4 m的自动旋转浇灌装置,它旋转一周最多能浇灌()m²的草地。
(1)把一个圆平均分成若干份(偶数份),剪开后可以拼成一个近似的长方形。如果拼成的近似长方形的周长比圆的周长增加了12 cm,则这个圆的面积是()cm²。
(2)某公园草地中心安装了一种最大射程为4 m的自动旋转浇灌装置,它旋转一周最多能浇灌()m²的草地。
答案
(1)
12÷2 = 6(cm)
3.14×6² = 113.04(cm²)
(2)
3.14×4² = 50.24(m²)
12÷2 = 6(cm)
3.14×6² = 113.04(cm²)
(2)
3.14×4² = 50.24(m²)
2.一只小羊被主人用6 m长的绳子拴在一块长14 m、宽12 m的长方形草地正中央。小羊能吃到草的面积占这块草地的百分之多少？（百分号前保留一位小数）
答案
14×12 = 168（m²）
3.14×6² = 113.04（m²）
113.04÷168 ≈ 67.3%
答：小羊能吃到草的面积占这块草地的67.3%。
3.14×6² = 113.04（m²）
113.04÷168 ≈ 67.3%
答：小羊能吃到草的面积占这块草地的67.3%。
3.冰壶又称掷冰壶，被大家喻为“冰上的国际象棋”。冰壶底面是直径为3 dm的圆，当它在冰面上滑过10 m时，扫过的面积约是多少？（结果保留整数）
答案
3 dm = 0.3 m
$10×0.3 + 3.14×(0.3÷2)^2$
$= 3 + 3.14×0.0225$
$= 3 + 0.07065$
$\approx 3\ (\mathrm{m}^2)$
答：扫过的面积约是$3\ \mathrm{m}^2$。
$10×0.3 + 3.14×(0.3÷2)^2$
$= 3 + 3.14×0.0225$
$= 3 + 0.07065$
$\approx 3\ (\mathrm{m}^2)$
答：扫过的面积约是$3\ \mathrm{m}^2$。
4. 刘徽割圆术。
3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了完善的理论和严密的算法。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限就是圆的周长，它的面积的极限就是圆的面积。
你能结合刘徽的割圆术，根据圆周长的计算公式推导出圆面积的计算公式吗？
赶紧动手试试吧！
3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了完善的理论和严密的算法。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限就是圆的周长，它的面积的极限就是圆的面积。
你能结合刘徽的割圆术，根据圆周长的计算公式推导出圆面积的计算公式吗？
赶紧动手试试吧！
答案
设圆的半径为r，圆周长公式为$C=2π r$。
当圆内接正多边形的边数无限增多时：
正多边形的周长无限趋近于圆的周长$C$，
正多边形的边心距无限趋近于圆的半径$r$。
正多边形可分割为若干个以圆心为顶点的等腰三角形：
单个等腰三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
正多边形总面积 = 所有等腰三角形面积之和
= 所有三角形底的和 × 高 ÷ 2
$\approx C × r ÷ 2$
将$C=2π r$代入得：
$S=2π r × r ÷ 2=π r^2$
答：推导得出圆的面积计算公式为$S=π r^2$。
当圆内接正多边形的边数无限增多时：
正多边形的周长无限趋近于圆的周长$C$，
正多边形的边心距无限趋近于圆的半径$r$。
正多边形可分割为若干个以圆心为顶点的等腰三角形：
单个等腰三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
正多边形总面积 = 所有等腰三角形面积之和
= 所有三角形底的和 × 高 ÷ 2
$\approx C × r ÷ 2$
将$C=2π r$代入得：
$S=2π r × r ÷ 2=π r^2$
答：推导得出圆的面积计算公式为$S=π r^2$。
