8.在解一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$时,小明看错了一次项系数$b$,得到的解为$x_1 = 2$,$x_2 = 3$;小刚看错了常数项$c$,得到的解为$x_1 = 1$,$x_2 = 4$.请你写出正确的一元二次方程:.

$x^2 - 5x + 6 = 0$（或填在下划线处为 $x^2 - 5x + 6 = 0$）

由小明的解 $x_1 = 2$，$x_2 = 3$，得方程 $x^2 + bx + c = 0$ 中 $c = 2 × 3 = 6$（根与系数关系，常数项为根的乘积）。
由小刚的解 $x_1 = 1$，$x_2 = 4$，得方程中 $-b = 1 + 4 = 5$（根与系数关系，一次项系数取负为根的和），故 $b = -5$。
因此，原方程为 $x^2 - 5x + 6 = 0$。

9.某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是.

6

设每个支干长出的小分支个数为$x$，则支干的数目为$x$，小分支的数目为$x × x = x^2$。
根据题意，主干、支干和小分支的总数为$43$，因此可列方程：
$1 + x + x^2 = 43$，
整理方程得：
$x^2 + x - 42 = 0$，
因式分解得：
$(x + 7)(x - 6) = 0$，
解得$x = 6$或$x = -7$（舍去负数解）。
故每个支干长出的小分支个数是$6$。

10.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植$x$株,则可以列出的方程是.

$(3+x)(4-0.5x)=15$（或填$(x+3)(-0.5x+4)=15$）

设每盆多植$x$株，则每盆植$(3 + x)$株。根据题意，每增加1株，平均每株盈利减少0.5元，因此每株盈利为$(4 - 0.5x)$元。总盈利为株数乘以每株盈利，即：
$(3 + x)(4 - 0.5x) = 15$

11.(7分)已知关于$x$的方程$x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0$.
(1)不解方程,判断方程根的情况.
(2)若方程有一个根为3,求$m$的值及方程的另一个根.

11.(1)
判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$，
在本题中，$a = 1$，$b = 2m$，$c = m^{2} - 1$，代入得：
$\Delta = (2m)^{2} - 4(1)(m^{2} - 1) = 4m^{2} - 4m^{2} + 4 = 4$
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
(2)
将$x = 3$代入原方程得：
$9 + 6m + m^{2} - 1 = 0$
整理得：
$m^{2} + 6m + 8 = 0$
因式分解得：
$(m + 2)(m + 4) = 0$
解得：
$m_{1} = -2, m_{2} = -4$
当$m = -2$时，原方程为：
$x^{2} - 4x + 3 = 0$
解得：
$x_{1} = 3, x_{2} = 1$
所以，此时方程的另一个根为$x = 1$。
当$m = -4$时，原方程为：
$x^{2} - 8x + 15 = 0$
解得：
$x_{1} = 3, x_{2} = 5$
所以，此时方程的另一个根为$x = 5$。
综上，$m$的值为$-2$或$-4$，方程的另一个根分别为$1$或$5$。