1.$M,N$是$\odot O$上的两点,已知$OM=3 cm$,那么一定有().

A.$MN＞6 cm$
B.$MN=6 cm$
C.$0 cm＜MN＜6 cm$
D.$0 cm＜MN\leq 6 cm$

D

$OM$为半径则圆的半径为$3cm$，$O$为圆心，则$M$和$N$为圆上的两点可知$MN$的最大值为直径长度。
圆的直径为$2 × 3 cm = 6 cm$。
$MN$作为弦，其长度范围为$0 ＜ MN \leq 6 cm$。

2.如图,在$\odot O$中,点$C$是$\overset{\frown} {AB}$的中点,$\angle A = 50°$,则$\angle BOC =$ ().

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$

A

在$\odot O$中，$OA=OB$，故$\triangle OAB$为等腰三角形，$\angle A = \angle B = 50°$。根据三角形内角和定理，$\angle AOB = 180° - 50° - 50° = 80°$。因为点$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，等弧所对的圆心角相等，因此$\angle AOC = \angle BOC$。又因为$\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$，所以$\angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}×80° = 40°$。

3.如图,$AD$是$\odot O$的直径,$\overset{\frown} {AB}=\overset{\frown} {CD}$.若$\angle AOB = 40°$,则圆周角$\angle BPC$的度数是().

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

B

1. 已知 $ \angle AOB = 40° $，且 $ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} $，所以 $ \angle AOB = \angle COD = 40° $。
2. 因为 $ AD $ 是直径，所以 $ \angle AOD = 180° $。
3. $ \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 180° $，即 $ 40° + \angle BOC + 40° = 180° $。
4. 解得 $ \angle BOC = 100° $。
5. 根据圆周角定理，圆周角 $ \angle BPC $ 是圆心角 $ \angle BOC $ 的一半，即 $ \angle BPC = \frac{1}{2} × \angle BOC = \frac{1}{2} × 100° = 50° $。

4.如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD\bot AB$于点$E$.若$AB = 8$,$AE = 1$,则弦$CD$的长是().

A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$6$
D.$8$

B

1. 连接 $OC$，因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，且 $AB = 8$，所以半径 $OC = 4$。
2. 已知 $AE = 1$，因此 $OE = OA - AE = 4 - 1 = 3$。
3. 在直角三角形 $OEC$ 中，利用勾股定理，$OC^2 = OE^2 + EC^2$，即 $4^2 = 3^2 + EC^2$，解得 $EC = \sqrt{7}$。
4. 因为 $CD \perp AB$，且 $E$ 为垂足，所以 $CD = 2 × EC = 2 \sqrt{7}$。

5.在$\odot O$中,$M$为$\overset{\frown} {AB}$的中点,下列结论正确的是().

A.$AB＞2AM$
B.$AB = 2AM$
C.$AB＜2AM$
D.$AB$与$2AM$的大小关系不能确定

C

连接AM、BM，因为M为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以AM=BM。在△ABM中，根据三角形两边之和大于第三边，AM+BM＞AB，即2AM＞AB，所以AB＜2AM。