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下列函数：①$y = -\dfrac{2}{x}$；②$y = \dfrac{1}{2x}$；③$y = 2x^{-1}$；④$y = \dfrac{2}{x - 1}$.其中$y$是$x$的反比例函数的有
【点睛】反比例函数有三种常见形式：(1)$y = \dfrac{k}{x}$；(2)$y = kx^{-1}$；(3)$xy = k(k≠ 0)$.
①②③
.(填序号)【点睛】反比例函数有三种常见形式：(1)$y = \dfrac{k}{x}$；(2)$y = kx^{-1}$；(3)$xy = k(k≠ 0)$.
答案
①②③
解析
反比例函数的三种常见形式为：
(1) $y = \dfrac{k}{x}$；
(2) $y = kx^{-1}$；
(3) $xy = k$（$k ≠ 0$）。
根据这三种形式，逐一判断题目中的函数：
① $y = -\dfrac{2}{x}$：符合形式(1)，其中 $k = -2 ≠ 0$，是反比例函数。
② $y = \dfrac{1}{2x}$：可以改写为 $y = \dfrac{1/2}{x}$，符合形式(1)，其中 $k = \dfrac{1}{2} ≠ 0$，是反比例函数。
③ $y = 2x^{-1}$：符合形式(2)，其中 $k = 2 ≠ 0$，是反比例函数。
④ $y = \dfrac{2}{x - 1}$：这个函数的形式不符合上述三种中的任何一种，因为分母是 $x - 1$ 而不是 $x$，所以不是反比例函数。
综上，是反比例函数的有①②③。
(1) $y = \dfrac{k}{x}$；
(2) $y = kx^{-1}$；
(3) $xy = k$（$k ≠ 0$）。
根据这三种形式，逐一判断题目中的函数：
① $y = -\dfrac{2}{x}$：符合形式(1)，其中 $k = -2 ≠ 0$，是反比例函数。
② $y = \dfrac{1}{2x}$：可以改写为 $y = \dfrac{1/2}{x}$，符合形式(1)，其中 $k = \dfrac{1}{2} ≠ 0$，是反比例函数。
③ $y = 2x^{-1}$：符合形式(2)，其中 $k = 2 ≠ 0$，是反比例函数。
④ $y = \dfrac{2}{x - 1}$：这个函数的形式不符合上述三种中的任何一种，因为分母是 $x - 1$ 而不是 $x$，所以不是反比例函数。
综上，是反比例函数的有①②③。
1. 下列关系式中，$y$是$x$的反比例函数的是(
A.$y = \dfrac{x}{3}$
B.$y = x^{2}$
C.$xy = - 3$
D.$y = \dfrac{1}{x^{2}}$
C
)A.$y = \dfrac{x}{3}$
B.$y = x^{2}$
C.$xy = - 3$
D.$y = \dfrac{1}{x^{2}}$
答案
C
解析
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$，$x≠0$），也可以写成$xy = k$的形式。
选项A：$y=\dfrac{x}{3}$是正比例函数，不是反比例函数。
选项B：$y = x^{2}$是二次函数，不是反比例函数。
选项C：由$xy = - 3$可得$y=-\dfrac{3}{x}$，符合反比例函数的形式，所以$y$是$x$的反比例函数。
选项D：$y=\dfrac{1}{x^{2}}$不符合反比例函数的一般形式，不是反比例函数。
选项A：$y=\dfrac{x}{3}$是正比例函数，不是反比例函数。
选项B：$y = x^{2}$是二次函数，不是反比例函数。
选项C：由$xy = - 3$可得$y=-\dfrac{3}{x}$，符合反比例函数的形式，所以$y$是$x$的反比例函数。
选项D：$y=\dfrac{1}{x^{2}}$不符合反比例函数的一般形式，不是反比例函数。
2. (2025 福州)函数$y = -\dfrac{2}{x}$中，自变量$x$的取值范围是(
A.$x≠ 0$
B.$x＞0$
C.$x＜0$
D.$x$为全体实数
A
)A.$x≠ 0$
B.$x＞0$
C.$x＜0$
D.$x$为全体实数
答案
A
解析
反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）中，分母不能为$0$，即$x≠0$，所以在函数$y = -\frac{2}{x}$中，自变量$x$的取值范围是$x≠0$。
3. 把函数$y = -\dfrac{3}{2x}$化为$y = \dfrac{k}{x}$的形式，则$k$的值为(
A.$3$
B.$-3$
C.$-\dfrac{3}{2}$
D.$-\dfrac{2}{3}$
C
)A.$3$
B.$-3$
C.$-\dfrac{3}{2}$
D.$-\dfrac{2}{3}$
答案
C
解析
$y = -\dfrac{3}{2x} = \dfrac{-\dfrac{3}{2}}{x}$，则$k = -\dfrac{3}{2}$
4. 若函数$y = x^{m^{2}-2}$为反比例函数，则$m$的值为
$\pm1$
.答案
$\pm1$
解析
因为函数$y = x^{m^{2}-2}$为反比例函数，所以$m^{2}-2=-1$，解得$m^{2}=1$，则$m=\pm1$。
5. 已知$y = -\dfrac{36}{x}$，当$x = 4$时，$y =$
-9
，当$y = 6$时，$x =$-6
.答案
-9 ； -6
解析
已知函数表达式 $y = -\dfrac{36}{x}$。
1. 当 $x = 4$ 时，代入公式得：
$y = -\dfrac{36}{4} = -9$。
2. 当 $y = 6$ 时，代入公式并解方程：
$6 = -\dfrac{36}{x} \implies x = -\dfrac{36}{6} = -6$。
1. 当 $x = 4$ 时，代入公式得：
$y = -\dfrac{36}{4} = -9$。
2. 当 $y = 6$ 时，代入公式并解方程：
$6 = -\dfrac{36}{x} \implies x = -\dfrac{36}{6} = -6$。
6. 已知$y$是$x$的反比例函数，$x$与$y$的部分对应值如右表：
（1）求$y$关于$x$的函数解析式；
（2）直接写出表格中$a$，$b$的值.
（1）求$y$关于$x$的函数解析式；
（2）直接写出表格中$a$，$b$的值.
答案
(1) 解析式为 $ y = \frac{2}{x} $，(2) $ a = 6 $， $ b = 4 $
(选择题目选项时，只需填写题号，如 (1) × (2) ×)
(选择题目选项时，只需填写题号，如 (1) × (2) ×)
解析
(1) 设反比例函数的解析式为 $ y = \frac{k}{x} $。
当 $ x = -1 $ 时， $ y = -2 $ 代入，得：
$ -2 = \frac{k}{-1} $
$ k = 2 $
所以，反比例函数的解析式为 $ y = \frac{2}{x} $。
(2) 当 $ x = a $ 时， $ y = \frac{1}{3} $ 代入，得：
$ \frac{1}{3} = \frac{2}{a} $
$ a = 6 $
当 $ x = \frac{1}{2} $ 时， $ y = b $ 代入，得：
$ b = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $
当 $ x = -1 $ 时， $ y = -2 $ 代入，得：
$ -2 = \frac{k}{-1} $
$ k = 2 $
所以，反比例函数的解析式为 $ y = \frac{2}{x} $。
(2) 当 $ x = a $ 时， $ y = \frac{1}{3} $ 代入，得：
$ \frac{1}{3} = \frac{2}{a} $
$ a = 6 $
当 $ x = \frac{1}{2} $ 时， $ y = b $ 代入，得：
$ b = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $
7. (2025 黄冈)某运输公司承担了运送总量为$10^{6}\ \mathrm{m}^{3}$土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度$v$(单位：$\mathrm{m}^{3}/$天)与完成运送任务所需的时间$t$(单位：天)之间的函数关系式是
$v=\dfrac{10^{6}}{t}$
.答案
$v=\dfrac{10^{6}}{t}$
解析
根据题意，运输总量 = 平均运送速度×时间，即 $10^6 = v × t$，变形可得 $v = \frac{10^6}{t}$。
8. 某蓄电池的电压为$48\ \mathrm{V}$，使用此蓄电池时，电流与电阻成反比例，则电流$I$(单位：$\mathrm{A}$)与电阻$R$(单位：$\Omega$)的函数关系式为
$I=\dfrac{48}{R}$
.答案
$I=\dfrac{48}{R}$
解析
因为电流与电阻成反比例，设函数关系式为$I = \frac{k}{R}$。已知蓄电池电压为$48\ \mathrm{V}$，根据电压$U = IR$，可得$k = UR = 48$，所以函数关系式为$I = \frac{48}{R}$。
