9. (2025 江西中考)如图，$△ ABC$ 是面积为 $1$ 的等边三角形，分别取 $AC$，$BC$，$AB$ 的中点得到 $△ A_1B_1C_1$；再分别取 $A_1C$，$B_1C$，$A_1B_1$ 的中点得到 $△ A_2B_2C_2$；…依此类推，则 $△ A_nB_nC_n$ 的面积为()

A.$(\frac{1}{2})^{n + 1}$
B.$(\frac{1}{3})^n$
C.$(\frac{1}{4})^n$
D.$(\frac{1}{4})^{n - 1}$

C

∵△ABC是面积为1的等边三角形，A₁、B₁、C₁分别为AC、BC、AB中点，∴△A₁B₁C₁是△ABC的中位线三角形，相似比为1/2，面积比为(1/2)²=1/4，故S₁=1×1/4=1/4= (1/4)¹；
取A₁C、B₁C、A₁B₁中点得△A₂B₂C₂，同理△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似比为1/2，面积比1/4，S₂=S₁×1/4=1/16=(1/4)²；
依此类推，△AₙBₙCₙ面积为(1/4)ⁿ。

10. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$ 是 $AD$ 的中点，连接 $BE$，延长 $BE$ 交 $CD$ 的延长线于点 $F$.
（1）求证：$FD = AB$；
（2）当 $□ ABCD$ 的面积为 $8$ 时，求 $△ FED$ 的面积.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE。∵E是AD中点，∴AE=DE。在△ABE和△DFE中，∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE，AE=DE，∴△ABE≌△DFE（AAS），∴FD=AB。
（2）∵△ABE≌△DFE，∴S△ABE=S△FED。∵E是AD中点，∴AE=ED，∴S△ABE=S△BED（等底同高）。∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD=1/2S□ABCD=1/2×8=4。∵S△ABD=S△ABE+S△BED=2S△ABE，∴2S△ABE=4，∴S△ABE=2，∴S△FED=2。

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE。∵E是AD中点，∴AE=DE。在△ABE和△DFE中，∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE，AE=DE，∴△ABE≌△DFE（AAS），∴FD=AB。
（2）∵△ABE≌△DFE，∴S△ABE=S△FED。∵E是AD中点，∴AE=ED，∴S△ABE=S△BED（等底同高）。∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD=1/2S□ABCD=1/2×8=4。∵S△ABD=S△ABE+S△BED=2S△ABE，∴2S△ABE=4，∴S△ABE=2，∴S△FED=2。

11. （2025 东营）如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知 $△ ABC$ 的边长 $BC = 60\mathrm{cm}$，高 $AD = 40\mathrm{cm}$.若矩形铁片的一边在 $BC$ 边上，点 $P$，$Q$ 分别在 $AB$，$AC$ 边上，且满足 $PQ:PN = 7:2$，求矩形铁片 $PQMN$ 的面积.

504

设PQ=7x，PN=2x。
∵PQMN是矩形，∴PQ//BC，PN=AD-△APQ的高。
∵△APQ∽△ABC，相似比=对应高的比，
∴PQ/BC=(AD-PN)/AD，即7x/60=(40-2x)/40。
解得x=6，∴PQ=42cm，PN=12cm。
矩形面积=42×12=504cm²。

12. 如图，在 $△ ABC$ 中，$BC$ 的垂直平分线分别交 $BC$，$AC$ 于点 $D$，$E$，$BE$ 交 $AD$ 于点 $F$，且 $AB = AD$.
（1）求证：$△ FDB∽△ ABC$；
（2）求 $\frac{S_{△ FDB}}{S_{△ ABC}}$ 的值；
（3）若 $BC = 6$，$DE = 2$，求 $△ BFD$ 的面积.

（1）见解析；（2）1/4；（3）9/4

（1）∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC，BE=EC，∠EBC=∠C。∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB。在△FDB和△ABC中，∠FDB=∠ADB=∠ABC，∠FBD=∠C，∴△FDB∽△ABC（AA）。
（2）由（1）知△FDB∽△ABC，D为BC中点，DB=BC/2，相似比为DB/BC=1/2，面积比为(1/2)²=1/4。
（3）BC=6，DB=3，DE=2。以D为原点建系，B(-3,0)，C(3,0)，E(0,2)。由AB=AD得A(-3/2,3)，AD：y=-2x，BE：y=(2/3)x+2，交点F(-3/4,3/2)。△FDB底DB=3，高为F纵坐标3/2，面积=1/2×3×3/2=9/4。