7. (2025 大连)如图，在正方形$ABCD$中，$E$是$AD$的中点，点$F$在$CD$上，且$CF = 3FD$。下列结论：①$△ ABE ∽ △ EBF$；②$△ ABE ∽ △ DEF$；③$△ EBF ∽ △ DEF$；④$△ EBF ∽ △ CBF$。其中结论正确的是。(填序号)

①②③

设正方形边长为4a，则AE=ED=2a，FD=a，CF=3a。坐标法得各点坐标：A(0,4a)，B(4a,4a)，E(0,2a)，F(a,0)。
计算各三角形边长：
△ABE：AE=2a，AB=4a，BE=2√5a（三边比1:2:√5）；
△EBF：EF=√5a，EB=2√5a，BF=5a（三边比1:2:√5）；
△DEF：DF=a，DE=2a，EF=√5a（三边比1:2:√5）；
△CBF：CF=3a，CB=4a，BF=5a（三边比3:4:5）。
①△ABE与△EBF三边比均为1:2:√5，相似；②△ABE与△DEF三边比均为1:2:√5，相似；③△EBF与△DEF三边比均为1:2:√5，相似；④△EBF与△CBF三边比不同，不相似。

8. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是$1$，每个小正方形的顶点叫做格点。$△ ACB$和$△ DCE$的顶点都在格点上，$ED$的延长线交$AB$于点$F$。
（1）求证：$△ ACB ∽ △ DCE$；
（2）求证：$EF ⊥ AB$。

（1）证明见解析；（2）证明见解析。

（1）由网格可知，$AC=3$，$BC=6$，$∠ACB=90°$；$DC=2$，$CE=4$，$∠DCE=90°$。
$\because \frac{AC}{DC}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{CE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，且$∠ACB=∠DCE=90°$，
$\therefore △ACB ∽ △DCE$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
（2）$\because △ACB ∽ △DCE$，$\therefore ∠BAC=∠EDC$。
$\because ∠EDC=∠FDB$（对顶角相等），$\therefore ∠BAC=∠FDB$。
在$Rt△ACB$中，$∠BAC+∠ABC=90°$，$\therefore ∠FDB+∠ABC=90°$。
在$△FBD$中，$∠BFD=180°-(∠FDB+∠ABC)=90°$，$\therefore EF⊥AB$。

9. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = 2$，$AD = 4$，$BD = 3$，$BC = 6$，$DC = 4.5$。求证：$AB // DC$。

AB//DC

在△ABD与△BDC中，AB=2，BD=3，DC=4.5，AD=4，BC=6。计算对应边比例：AB/BD=2/3，BD/DC=3/4.5=2/3，AD/BC=4/6=2/3。因此AB/BD=BD/DC=AD/BC，根据三边成比例的两个三角形相似，可得△ABD∽△BDC。则∠ABD=∠BDC（相似三角形对应角相等），所以AB//DC（内错角相等，两直线平行）。

10. （2025 襄阳）如图是由$25$个边长为$1$的小正方形组成的$5×5$的正方形网格，顶点在这些小正方形顶点的三角形称为格点三角形。如图中的$△ ABC$为格点三角形。
（1）$D$为小正方形的顶点，在所给的网格中画出格点$△ DEF$，使$△ DEF ∽ △ ABC$，且相似比为$\sqrt{2}$（画出一个即可）；
（2）直接写出所给的网格中与$△ ABC$相似且相似比最大的格点三角形的个数，并画出其中一个。

（1）图略（画出满足条件的△DEF即可）；
（2）4，图略（画出其中一个最大相似比的三角形即可）。

（1）先计算△ABC三边长平方：AB²=2，BC²=4，AC²=10。相似比为√2，则△DEF三边长平方为4,8,20。在网格中取D(1,0)，E(3,0)（DE²=4），F(5,2)（EF²=8，DF²=20），画出△DEF。
（2）△ABC边长比为1:√2:√5，最大相似比时边长为√10,2√5,5√2（平方10,20,50）。5×5网格中最长对角线为5√2，对应对角线有(0,0)-(5,5)和(0,5)-(5,0)，每条对角线对应2个格点三角形，共4个。