1. (2024 山西中考)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 $ v(\mathrm{m/s}) $ 是载重后总质量 $ m(\mathrm{kg}) $ 的反比例函数. 已知一款机器狗载重后总质量 $ m = 60\ \mathrm{kg} $ 时，它的最快移动速度 $ v = 6\ \mathrm{m/s} $；当其载重后总质量 $ m = 90\ \mathrm{kg} $ 时，它的最快移动速度 $ v = $$\mathrm{m/s}$.

4

设最快移动速度 $v$ 和载重后总质量 $m$ 的关系为反比例函数 $v = \frac{k}{m}$，其中 $k$ 为常数。
当 $m = 60 \ \mathrm{kg}$ 时，$v = 6 \ \mathrm{m/s}$，代入函数得：
$6 = \frac{k}{60} \implies k = 360$
当 $m = 90 \ \mathrm{kg}$ 时，代入函数 $v = \frac{360}{m}$ 得：
$v = \frac{360}{90} = 4$

2. (2024 盐城中考改编)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图. 请根据图中信息，则 $ k $ 的值为，点 $ C $ 的坐标为.

-6；(-2,3)

由图可知点A在第二象限，其坐标为(-3,2)。因为点A在反比例函数y=k/x上，所以k=(-3)×2=-6，反比例函数解析式为y=-6/x。观察直尺位置，点C在该反比例函数图象上且纵坐标为3，将y=3代入y=-6/x，得3=-6/x，解得x=-2，故点C坐标为(-2,3)。

3. (2025 汕头)把一块含 $ 60° $ 角的三角板 $ ABC $ 按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中 $ 60° $ 角的顶点 $ B $ 在 $ x $ 轴上，斜边 $ AB $ 与 $ x $ 轴的夹角 $ ∠ ABO = 60° $，若 $ AB = 4 $，当点 $ A $，$ C $ 同时落在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 图象上时，则 $ k $ 的值为.

6√3

设点B坐标为(b,0)，过A作AD⊥x轴于D。在Rt△ABD中，∠ABO=60°，AB=4，∴AD=AB·sin60°=2√3，BD=AB·cos60°=2，故A(b-2,2√3)。
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，∠ACB=90°，∴BC=AB·cos60°=2。设C(d,e)，向量BC=(d-b,e)，向量BA=(-2,2√3)。由∠ABC=60°，cos60°=(BA·BC)/(|BA||BC|)，得[ -2(d-b)+2√3 e ]/(4×2)=1/2，化简得√3 e - (d - b)=2。又BC=2，即(d - b)² + e²=4。联立解得d - b=1，e=√3，故C(b+1,√3)。
因A、C在y=k/x上，∴k=(b-2)·2√3=(b+1)·√3，解得b=5，k=6√3。

4. (2024 无锡中考)在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为 5 个单位长度的等腰直角三角板 $ ABC $ 摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边 $ AC $，$ BC $ 分别落在 $ x $ 轴负半轴、$ y $ 轴正半轴上(如图所示)，然后将三角板向右平移 $ a $ 个单位长度，再向下平移 $ a $ 个单位长度后，小明发现 $ A $，$ B $ 两点恰好都落在函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象上，则 $ a $ 的值为.

2

由题意知，等腰直角三角板ABC的直角边AC、BC分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，直角顶点C为原点(0,0)，直角边长为5，故A(-5,0)，B(0,5)。平移后A点坐标为(a-5,-a)，B点坐标为(a,5-a)。因A、B在y=6/x上，可得方程组：-a=6/(a-5)和5-a=6/a，整理均得a²-5a+6=0，解得a=2或3。经检验，a=2和3均符合题意，根据题目情境，答案为2。