教材母题 (九上 $P_{103}T_{14}$ 改编) 在△ABC 中,∠C = $90^{\circ}$,⊙O 为△ABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F.
(1)如图 1,求 sin∠DFE 的值;
(2)如图 2,若$\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$,求 sin∠DEF 的值.

(1)√2/2；(2)3√10/10

(1)连接OD,OE。∵⊙O为△ABC内切圆，切点为D,E,F，∴OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE。∵∠C=90°，∴四边形ODCE为正方形，∠DOE=90°。∠DFE为⊙O圆周角，对应弧DE，∴∠DFE=1/2∠DOE=45°，sin∠DFE=sin45°=√2/2。
(2)设BF=2k,AF=3k，由切线长定理得AD=AF=3k,BE=BF=2k。设内切圆半径为r，则CD=CE=r，AC=AD+CD=3k+r,BC=BE+CE=2k+r。∵∠C=90°，∴AC²+BC²=AB²，即(3k+r)²+(2k+r)²=(5k)²，解得r=k。∴AC=4k,BC=3k,AB=5k。连接OD,OF，∠DOF=180°-∠A，∠DEF=1/2∠DOF=90°-∠A/2。在Rt△ABC中，cosA=AC/AB=4/5，cos(∠A/2)=√[(1+cosA)/2]=3√10/10，sin∠DEF=cos(∠A/2)=3√10/10。

【教材变式】如图,在△ABC 中,AB = AC,D 为 AC 边上的一点,⊙I 是△ABD 的内切圆,切点分别为 E,F,G.
(1)求证:BE = CF;
(2)连接 EF,FG,EG.若 BD = 10,CD = 4,tan∠EGF = $\frac{3}{2}$,求 cos∠EFG 的值.

(1)见解析；(2)2√53/53

(1)设⊙I与AB、AD、BD的切点分别为G、F、E，由切线长定理得：AG=AF，BG=BE，DE=DF。设AG=AF=x，BG=BE=y，DE=DF=z。则AB=AG+BG=x+y，AD=AF+DF=x+z，BD=BE+DE=y+z。∵AB=AC，∴AC=x+y，CF=AC-AF=(x+y)-x=y，∴BE=CF。
(2)由(1)得y-z=AC-AD=CD=4，又BD=y+z=10，解得y=7，z=3。设∠ADB=α，⊙I半径为r，∠EGF=1/2∠EIF，tan∠EGF=3/2，得tan(1/2∠EIF)=3/2，∠EIF=180°-α，故tan(90°-α/2)=3/2，即cot(α/2)=3/2，tan(α/2)=2/3，tanα=12/5。过A作AH⊥BD于H，设DH=5k，AH=12k，AD=13k，BH=10-5k。由AB²=AH²+BH²，AB=AD+4=13k+4，得(13k+4)²=(12k)²+(10-5k)²，解得k=7/17。在△ABD中，cos∠ABD=45/53，∠EFG=90°-∠ABD/2，cos∠EFG=sin(∠ABD/2)=√[(1-cos∠ABD)/2]=2√53/53。