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23. 钓鱼是一项户外运动.如图甲所示是钓鱼常用的一种钓具，它主要由鱼钩、铅坠、浮漂($7$颗相同浮子)构成，该钓具各部分参数如表所示.假如垂钓时，浸没在水面下的浮子处于同一竖直线上，漂浮在水面上的浮子处于同一水平线上，为浮子的理想状态(忽略鱼线弯曲造成的影响，即不计漂浮浮子与浸没浮子之间的相互作用).如图乙所示，某钓鱼爱好者在鱼塘垂钓时，鱼饵的质量为$1.5 × 10^{-3} \mathrm{kg}$，体积为$1 × 10^{-6} \mathrm{m}^3$，沉到水底后未与塘底紧密接触，有$4$颗浮子浸没在水下、有$3$颗浮子漂浮在水面上，且浮子处于理想状态.($\rho_{水} = 1.0 × 10^3 \mathrm{kg/m}^3$，$g$取$10 \mathrm{N/kg}$)
(1) 浸没在水中的$4$颗浮子受到的总浮力为多大?
(2) 当鱼饵静止在水平塘底时，鱼饵受到的支持力为多大?
(3) 当鱼饵被全部吃掉，而鱼未上钩，稳定后，浮子仍处于理想状态，水面下浸没的浮子有多少颗?
(1) 浸没在水中的$4$颗浮子受到的总浮力为多大?
(2) 当鱼饵静止在水平塘底时，鱼饵受到的支持力为多大?
(3) 当鱼饵被全部吃掉，而鱼未上钩，稳定后，浮子仍处于理想状态，水面下浸没的浮子有多少颗?
答案
解：
(1) 4颗浮子浸没时的总排开体积$V_{排总}=4×8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3=3.2×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$
根据阿基米德原理，总浮力$F_{浮总}=\rho_{水}gV_{排总}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×3.2×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.032\ \mathrm{N}$
(2) 鱼饵的重力$G_{饵}=m_{饵}g=1.5×10^{-3}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.015\ \mathrm{N}$
鱼饵受到的浮力$F_{浮饵}=\rho_{水}gV_{饵}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.01\ \mathrm{N}$
根据受力平衡，$G_{饵}=F_{浮饵}+F_{支}$，则支持力$F_{支}=G_{饵}-F_{浮饵}=0.015\ \mathrm{N}-0.01\ \mathrm{N}=0.001\ \mathrm{N}$
(3) 设水面下浸没的浮子有n颗，整体漂浮，总浮力等于总重力：
总重力$G_{总}=7m_{浮}g+m_{铅}g+m_{钩}g=7×4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+9×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.041\ \mathrm{N}$
总浮力$F_{浮总}'=n\rho_{水}gV_{浮}+(7-n)m_{浮}g$
代入数据并整理得：
$ 1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3×n+(7-n)×4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.041\ \mathrm{N}$
0.008n + 0.028 - 0.004n = 0.041
0.004n=0.013，取整得n=3，即水面下浸没的浮子有3颗。
(1) 4颗浮子浸没时的总排开体积$V_{排总}=4×8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3=3.2×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$
根据阿基米德原理，总浮力$F_{浮总}=\rho_{水}gV_{排总}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×3.2×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.032\ \mathrm{N}$
(2) 鱼饵的重力$G_{饵}=m_{饵}g=1.5×10^{-3}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.015\ \mathrm{N}$
鱼饵受到的浮力$F_{浮饵}=\rho_{水}gV_{饵}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.01\ \mathrm{N}$
根据受力平衡，$G_{饵}=F_{浮饵}+F_{支}$，则支持力$F_{支}=G_{饵}-F_{浮饵}=0.015\ \mathrm{N}-0.01\ \mathrm{N}=0.001\ \mathrm{N}$
(3) 设水面下浸没的浮子有n颗，整体漂浮，总浮力等于总重力：
总重力$G_{总}=7m_{浮}g+m_{铅}g+m_{钩}g=7×4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+9×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.041\ \mathrm{N}$
总浮力$F_{浮总}'=n\rho_{水}gV_{浮}+(7-n)m_{浮}g$
代入数据并整理得：
$ 1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3×n+(7-n)×4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.041\ \mathrm{N}$
0.008n + 0.028 - 0.004n = 0.041
0.004n=0.013，取整得n=3，即水面下浸没的浮子有3颗。
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知单颗浮子的体积，4颗浸没浮子的总排开体积为单颗体积的4倍，根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，代入数据即可计算总浮力。
2. 第(2)问：鱼饵沉底未与塘底紧密接触，处于受力平衡状态，重力等于浮力与支持力之和。先利用$G=mg$计算鱼饵重力，再用阿基米德原理计算鱼饵受到的浮力，最后通过受力平衡关系$G_{饵}=F_{浮饵}+F_{支}$变形求出支持力。
3. 第(3)问：鱼饵被吃掉后，钓具整体处于漂浮状态，总浮力等于总重力。先计算出7颗浮子、铅坠、鱼钩的总重力；总浮力由$n$颗浸没浮子的浮力（阿基米德原理计算）和$(7-n)$颗漂浮浮子的浮力（漂浮时浮力等于自身重力）组成，根据$F_{浮总}'=G_{总}$列方程求解$n$，取整得到浸没浮子的数量。
【解析】
(1) 单颗浮子的体积$V_{浮}=8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3$，4颗浮子浸没时的总排开体积：
$V_{排总}=4V_{浮}=4×8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3=3.2×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$
根据阿基米德原理，总浮力：
$F_{浮总}=\rho_{水}gV_{排总}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×3.2×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.032\ \mathrm{N}$
(2) 鱼饵的重力：
$G_{饵}=m_{饵}g=1.5×10^{-3}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.015\ \mathrm{N}$
鱼饵浸没在水中，受到的浮力：
$F_{浮饵}=\rho_{水}gV_{饵}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.01\ \mathrm{N}$
鱼饵沉底后受力平衡，$G_{饵}=F_{浮饵}+F_{支}$，则支持力：
$F_{支}=G_{饵}-F_{浮饵}=0.015\ \mathrm{N}-0.01\ \mathrm{N}=0.001\ \mathrm{N}$
(3) 设水面下浸没的浮子有$n$颗，钓具整体漂浮，总浮力等于总重力。
总重力为7颗浮子、铅坠、鱼钩的总重力：
$G_{总}=7m_{浮}g+m_{铅}g+m_{钩}g$
$=7×4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+9×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}$
$=0.028\ \mathrm{N}+0.009\ \mathrm{N}+0.004\ \mathrm{N}=0.041\ \mathrm{N}$
总浮力为$n$颗浸没浮子的浮力与$(7-n)$颗漂浮浮子的浮力之和：
$F_{浮总}'=n\rho_{水}gV_{浮}+(7-n)m_{浮}g$
代入数据：
$1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3×n+(7-n)×4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.041\ \mathrm{N}$
整理得：
$0.008n + 0.028 - 0.004n = 0.041$
$0.004n=0.013$
解得$n=3.25$，取整得$n=3$，即水面下浸没的浮子有3颗。
【答案】
(1) $0.032\ \mathrm{N}$
(2) $0.001\ \mathrm{N}$
(3) 3颗
【知识点】
阿基米德原理、受力平衡分析、物体浮沉条件
【点评】
本题是浮力知识的综合应用，涉及阿基米德原理、受力平衡和物体浮沉条件的运用。解题关键是准确分析不同状态下物体的受力情况，明确总重力与总浮力的组成部分，计算时注意单位统一和数据的合理处理，第三问需根据实际情况对计算结果取整，考查学生的综合分析和计算能力。
【难度系数】
0.4
1. 第(1)问：已知单颗浮子的体积，4颗浸没浮子的总排开体积为单颗体积的4倍，根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，代入数据即可计算总浮力。
2. 第(2)问：鱼饵沉底未与塘底紧密接触，处于受力平衡状态，重力等于浮力与支持力之和。先利用$G=mg$计算鱼饵重力，再用阿基米德原理计算鱼饵受到的浮力，最后通过受力平衡关系$G_{饵}=F_{浮饵}+F_{支}$变形求出支持力。
3. 第(3)问：鱼饵被吃掉后，钓具整体处于漂浮状态，总浮力等于总重力。先计算出7颗浮子、铅坠、鱼钩的总重力；总浮力由$n$颗浸没浮子的浮力（阿基米德原理计算）和$(7-n)$颗漂浮浮子的浮力（漂浮时浮力等于自身重力）组成，根据$F_{浮总}'=G_{总}$列方程求解$n$，取整得到浸没浮子的数量。
【解析】
(1) 单颗浮子的体积$V_{浮}=8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3$，4颗浮子浸没时的总排开体积：
$V_{排总}=4V_{浮}=4×8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3=3.2×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$
根据阿基米德原理，总浮力：
$F_{浮总}=\rho_{水}gV_{排总}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×3.2×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.032\ \mathrm{N}$
(2) 鱼饵的重力：
$G_{饵}=m_{饵}g=1.5×10^{-3}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.015\ \mathrm{N}$
鱼饵浸没在水中，受到的浮力：
$F_{浮饵}=\rho_{水}gV_{饵}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.01\ \mathrm{N}$
鱼饵沉底后受力平衡，$G_{饵}=F_{浮饵}+F_{支}$，则支持力：
$F_{支}=G_{饵}-F_{浮饵}=0.015\ \mathrm{N}-0.01\ \mathrm{N}=0.001\ \mathrm{N}$
(3) 设水面下浸没的浮子有$n$颗，钓具整体漂浮，总浮力等于总重力。
总重力为7颗浮子、铅坠、鱼钩的总重力：
$G_{总}=7m_{浮}g+m_{铅}g+m_{钩}g$
$=7×4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+9×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}$
$=0.028\ \mathrm{N}+0.009\ \mathrm{N}+0.004\ \mathrm{N}=0.041\ \mathrm{N}$
总浮力为$n$颗浸没浮子的浮力与$(7-n)$颗漂浮浮子的浮力之和：
$F_{浮总}'=n\rho_{水}gV_{浮}+(7-n)m_{浮}g$
代入数据：
$1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×8×10^{-7}\ \mathrm{m}^3×n+(7-n)×4×10^{-4}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.041\ \mathrm{N}$
整理得：
$0.008n + 0.028 - 0.004n = 0.041$
$0.004n=0.013$
解得$n=3.25$，取整得$n=3$，即水面下浸没的浮子有3颗。
【答案】
(1) $0.032\ \mathrm{N}$
(2) $0.001\ \mathrm{N}$
(3) 3颗
【知识点】
阿基米德原理、受力平衡分析、物体浮沉条件
【点评】
本题是浮力知识的综合应用，涉及阿基米德原理、受力平衡和物体浮沉条件的运用。解题关键是准确分析不同状态下物体的受力情况，明确总重力与总浮力的组成部分，计算时注意单位统一和数据的合理处理，第三问需根据实际情况对计算结果取整，考查学生的综合分析和计算能力。
【难度系数】
0.4
