19. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树 $ DE $ 的高度，采用了如下方法：先从与古树底端 $ D $ 在同一水平线上的点 $ A $ 出发，沿斜面坡度 $ i = 2 : \sqrt{3} $ 的斜坡 $ AB $ 前进 $ 20\sqrt{7} \, \mathrm{m} $ 到达点 $ B $，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 $ C $.在点 $ C $ 处测得古树 $ DE $ 的顶端 $ E $ 的俯角为 $ 37^{\circ} $，底端 $ D $ 的俯角为 $ 60^{\circ} $，求古树 $ DE $ 的高度.（参考数据：$ \sin 37^{\circ} \approx \dfrac{3}{5} $，$ \cos 37^{\circ} \approx \dfrac{4}{5} $，$ \tan 37^{\circ} \approx \dfrac{3}{4} $，计算结果用根号表示，不取近似值）

19. $ (40-10 \sqrt{3}) \mathrm{m} $

20. 如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为 $ AB $，$ BC $ 两部分，小明同学在 $ C $ 点测得雪道 $ BC $ 的坡度 $ i = 1 : 2.4 $，在 $ A $ 点测得 $ B $ 点的俯角 $ ∠ DAB = 30^{\circ} $.若雪道 $ AB $ 长为 $ 270 \, \mathrm{m} $，雪道 $ BC $ 长为 $ 260 \, \mathrm{m} $.
（1）求该滑雪场的高度 $ h $；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少 $ 35 \, \mathrm{m}^{3} $，且甲设备造雪 $ 150 \, \mathrm{m}^{3} $ 所用的时间与乙设备造雪 $ 500 \, \mathrm{m}^{3} $ 所用的时间相等.求甲、乙两种设备每小时的造雪量.

20. (1)$ 235 \mathrm{~m} $ (2)$ 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, 50 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} $

（1）过点$ B $作$ BE ⊥ AD $于点$ E $，$ BF ⊥ CD $于点$ F $。
在$ △ ABE $中，$ ∠ BAE = 30° $，$ AB = 270 \, \mathrm{m} $，$ BE = AB · \sin 30° = 270 × \frac{1}{2} = 135 \, \mathrm{m} $。
设$ BF = x \, \mathrm{m} $，因为$ BC $的坡度$ i = 1:2.4 $，所以$ CF = 2.4x \, \mathrm{m} $。
在$ △ BCF $中，$ BC = 260 \, \mathrm{m} $，由勾股定理得$ x^2 + (2.4x)^2 = 260^2 $，解得$ x = 100 \, \mathrm{m} $。
$ h = BE + BF = 135 + 100 = 235 \, \mathrm{m} $。
（2）设甲设备每小时造雪量为$ x \, \mathrm{m}^3 $，则乙设备每小时造雪量为$ (x + 35) \, \mathrm{m}^3 $。
由题意得$ \frac{150}{x} = \frac{500}{x + 35} $，解得$ x = 15 $。
经检验，$ x = 15 $是原方程的解，$ x + 35 = 50 $。
（1）$ 235 \, \mathrm{m} $；（2）甲设备每小时造雪量为$ 15 \, \mathrm{m}^3 $，乙设备每小时造雪量为$ 50 \, \mathrm{m}^3 $。