一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1. 已知反比例函数的图象经过点 $ A(-2,-2) $，则这个函数的图象位于()
A.第三、四象限
B.第二、三象限
C.第二、四象限
D.第一、三象限

1. D

2. 若函数 $ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0) $ 的图象经过点 $ (4,-7) $，则它一定还经过点()

A.$ (4,7) $
B.$ (-4,-7) $
C.$ (-4,7) $
D.不确定

2. C

解：因为函数$y = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象经过点$(4,-7)$，所以将$x = 4$，$y=-7$代入函数可得：$-7=\frac{k}{4}$，解得$k = -28$，则函数解析式为$y=-\frac{28}{x}$。
依次分析各选项：
选项A：当$x = 4$时，$y=-\frac{28}{4}=-7≠7$，所以该点不在函数图象上。
选项B：当$x=-4$时，$y=-\frac{28}{-4}=7≠ -7$，所以该点不在函数图象上。
选项C：当$x=-4$时，$y=-\frac{28}{-4}=7$，所以该点在函数图象上。
C

3. 如图，点 $ D $ 为 $ △ ABC $ 的边 $ AB $ 上任一点，$ DE // BC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，连接 $ BE $，$ CD $，它们相交于点 $ F $，则下列等式中不成立的是()

A.$ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $
B.$ \frac{DE}{BC} = \frac{DF}{FC} $
C.$ \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{EC} $
D.$ \frac{EF}{BF} = \frac{AE}{AC} $

3. C

证明：
∵ $ DE // BC $，
∴ $ △ ADE ∼ △ ABC $，$ △ DEF ∼ △ CBF $。
选项A：由 $ △ ADE ∼ △ ABC $，得 $ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $，
则 $ \frac{AD}{AB - AD} = \frac{AE}{AC - AE} $，即 $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $，A成立。
选项B：由 $ △ DEF ∼ △ CBF $，得 $ \frac{DE}{BC} = \frac{DF}{FC} $，B成立。
选项C：由 $ △ ADE ∼ △ ABC $，得 $ \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC} $，
而 $ \frac{AE}{AC} ≠ \frac{AE}{EC} $（除非 $ EC = AC $，显然不成立），C不成立。
选项D：由 $ △ ADE ∼ △ ABC $，得 $ \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} $；
由 $ △ DEF ∼ △ CBF $，得 $ \frac{EF}{BF} = \frac{DE}{BC} $，
故 $ \frac{EF}{BF} = \frac{AE}{AC} $，D成立。
综上，不成立的等式是C。
答案：C

4. 如图，在平面直角坐标系中，$ C $ 为 $ △ AOB $ 的 $ OA $ 边上一点，$ AC:OC = 1:2 $，过 $ C $ 作 $ CD // OB $ 交 $ AB $ 于点 $ D $，若 $ C $，$ D $ 两点的纵坐标分别为 $ 1 $，$ 3 $，则 $ B $ 点的纵坐标为()

A.$ 4 $
B.$ 5 $
C.$ 6 $
D.$ 7 $

4. C

解：设点$O$为坐标原点$(0,0)$，设点$A$的坐标为$(a, y_A)$，点$B$的坐标为$(0, b)$（$b$为$B$点的纵坐标）。
因为$AC:OC = 1:2$，所以$OC:OA = 2:3$。点$C$在$OA$上，由定比分点坐标公式可得$C$点的纵坐标为$\frac{2}{3}y_A$，已知$C$点纵坐标为$1$，则$\frac{2}{3}y_A = 1$，解得$y_A=\frac{3}{2}$。
因为$CD// OB$，$OB$在$y$轴上，所以$CD$垂直于$x$轴，即$C$和$D$的横坐标相同。设$C$点坐标为$(c, 1)$，则$D$点坐标为$(c, 3)$。
直线$AB$的解析式：设$AB$的方程为$y = kx + b$，将$A(a, \frac{3}{2})$代入得$\frac{3}{2}=ka + b$，即$ka=\frac{3}{2}-b$。
点$D(c, 3)$在直线$AB$上，所以$3 = kc + b$，即$kc=3 - b$。
由$OC:OA = 2:3$，可得$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，即$c=\frac{2}{3}a$。
将$c=\frac{2}{3}a$代入$kc=3 - b$得：$k·\frac{2}{3}a=3 - b$，又因为$ka=\frac{3}{2}-b$，所以$\frac{2}{3}(\frac{3}{2}-b)=3 - b$，
解得$1-\frac{2}{3}b=3 - b$，$\frac{1}{3}b=2$，$b = 6$。
故$B$点的纵坐标为$6$。
答案：C

5. 如图，已知 $ AB $ 是半圆 $ O $ 的直径，弦 $ AD $，$ CB $ 相交于点 $ P $，若 $ ∠ DPB = 45^{\circ} $，则 $ S_{△ CDP}:S_{△ ABP} $ 的值为()

A.$ \frac{2}{5} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{1}{2} $

5. D

证明：连接 $OD$、$OC$，设半圆半径为 $r$。
$\because AB$ 是直径，$\therefore ∠ ACB = ∠ ADB = 90°$。
$\because ∠ DPB = 45°$，$\therefore ∠ APC = 45°$。
设 $∠ PAB = α$，则 $∠ PBA = 45° - α$。
$∠ COD = 2∠ CAD = 2α$，$∠ AOD = 2∠ ABD = 2(45° - α) = 90° - 2α$。
$\therefore ∠ COD + ∠ AOD = 90°$，即 $∠ COD = 90° - ∠ AOD$，故 $△ COD$ 中，$CD = \sqrt{2}r$（等腰直角三角形）。
$AB = 2r$，$△ CDP ∼ △ ABP$（对顶角相等，圆周角相等）。
相似比 $k = \frac{CD}{AB} = \frac{\sqrt{2}r}{2r} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
面积比 $k^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$。
$\boxed{D}$

6. 如图，是一张三角形纸片 $ ABC $，点 $ D $，$ E $ 分别在边 $ AB $，$ AC $ 上，将 $ △ ABC $ 沿着 $ DE $ 折叠压平，使 $ A $ 与 $ A' $ 重合，若 $ ∠ A = 75^{\circ} $，则 $ ∠ 1 + ∠ 2 = $()

A.$ 150^{\circ} $
B.$ 210^{\circ} $
C.$ 105^{\circ} $
D.$ 75^{\circ} $

6. A

解：由折叠性质得，∠A'ED=∠AED，∠A'DE=∠ADE，∠A'=∠A=75°。
在△A'ED中，∠A'ED+∠A'DE=180°-∠A'=105°，
则∠AED+∠ADE=105°。
在△AED中，∠A+∠AED+∠ADE=180°，
四边形AEDA'中，∠1+∠2=360°-2(∠AED+∠ADE)=360°-2×105°=150°。
答案：A

7. 某种零件的模型如图所示，该几何体(空心圆柱)的俯视图是()

7. C

8. 如图，正五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $，$ F $ 为 $ \odot O $ 上一点，则 $ ∠ AFB $ 的度数为()

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 36^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 72^{\circ} $

8. B

解：
∵正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore$五边形$ABCDE$的中心角$∠ AOB = \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$。
$\because$点$F$在$\odot O$上，
$\therefore$由圆周角定理得$∠ AFB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×72^{\circ}=36^{\circ}$。
答案：B