7. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=5$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，$DE\perp AC$，垂足为$E$.若$\triangle ABD$的面积为$5$，则$DE$的长为 ()

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$5$

B

过点D作DF⊥AB于F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF（角平分线的性质）。
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DF=5，AB=5，
∴$\frac{1}{2}$×5×DF=5，解得DF=2。
∴DE=DF=2。

8. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$DE$垂直平分$AB$交$BC$于点$D$.若$\triangle ACD$的周长为$50$ cm，则$AC+BC=$ ()

A.$25$ cm
B.$45$ cm
C.$50$ cm
D.$55$ cm

C

∵DE垂直平分AB，∴AD=BD。
∵△ACD的周长为50 cm，即AC+CD+AD=50 cm。
又∵AD=BD，∴AC+CD+BD=AC+BC=50 cm。

9. 一艘货轮在静水中的航速为$40$ km/h，它以该航速沿江顺流航行$120$ km所用时间，与以该航速沿江逆流航行$80$ km所用时间相等，则江水的流速为 ()

A.$5$ km/h
B.$6$ km/h
C.$7$ km/h
D.$8$ km/h

D

设江水的流速为$v$ km/h。
顺流航速为：$40 + v$ km/h，
逆流航速为：$40 - v$ km/h。
根据题意，顺流航行$120$ km所用时间与逆流航行$80$ km所用时间相等，即：
$\frac{120}{40 + v} = \frac{80}{40 - v}$，
交叉相乘得：
$120(40 - v) = 80(40 + v)$，
展开并整理得：
$4800 - 120v = 3200 + 80v$，
进一步整理得：
$200v = 1600$，
解得：
$v = 8$。
经检验，$v = 8$满足原方程。

10. 若分式方程$\frac{2}{x-1}=1-\frac{m}{x-1}$的解为正数，则$m$的取值范围为 ()

A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m\neq -2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m\neq -2$

B

方程两边同乘$x-1$得：$2 = x - 1 - m$，解得$x = 3 + m$。因为解为正数，所以$3 + m ＞ 0$，即$m ＞ -3$。又因为分母不能为$0$，所以$x - 1 \neq 0$，即$3 + m - 1 \neq 0$，$m \neq -2$。综上，$m ＞ -3$且$m \neq -2$。

11. 分解因式：$3x^2-18x+27=$.

$3(x - 3)^2$

首先提取公因数$3$，得到$3x^2 - 18x + 27=3(x^2 - 6x + 9)$。
再对括号内的式子利用完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，其中$a = x$，$b = 3$，$x^2-6x + 9=x^2-2×3× x+3^2=(x - 3)^2$。
所以$3x^2 - 18x + 27=3(x - 3)^2$。

12. 计算：$\frac{2a}{a^2-b^2}-\frac{1}{a+b}=$.

$\frac{1}{a - b}$

本题可先对原式中两个分式的分母进行因式分解，再通过通分将两个分式化为同分母分式，最后进行分式的减法运算。
步骤一：对原式分母进行因式分解
根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$，对$a^2 - b^2$因式分解可得$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，则原式可化为$\frac{2a}{(a + b)(a - b)} - \frac{1}{a + b}$。
步骤二：通分
两个分式的最简公分母为$(a + b)(a - b)$，将$\frac{1}{a + b}$的分子分母同时乘以$(a - b)$，可得$\frac{1×(a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{a - b}{(a + b)(a - b)}$。
此时原式变为$\frac{2a}{(a + b)(a - b)} - \frac{a - b}{(a + b)(a - b)}$。
步骤三：进行分式减法运算
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\frac{2a}{(a + b)(a - b)} - \frac{a - b}{(a + b)(a - b)} = \frac{2a - (a - b)}{(a + b)(a - b)}$
去括号：$2a - (a - b)=2a - a + b = a + b$，则$\frac{2a - (a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{a + b}{(a + b)(a - b)}$。
步骤四：约分
分子分母同时约去公因式$(a + b)$，可得$\frac{a + b}{(a + b)(a - b)} = \frac{1}{a - b}$。

13. 如图，$\triangle ABC \cong \triangle CDE$. 若$\angle D=35^{\circ}$，$\angle ACB=45^{\circ}$，则$\angle DCE$的度数为.

100°

因为△ABC≌△CDE，所以∠A=∠D=35°，∠DCE=∠ABC。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=35°，∠ACB=45°，所以∠ABC=180°-35°-45°=100°，故∠DCE=100°。

14. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle DCE=40^{\circ}$，$AE=AC$，$BC=BD$，则$\angle ACB$的度数为.

100

设∠ACB=x，∠A=α，∠B=β，则α+β=180°-x。
∵AE=AC，∴△ACE为等腰三角形，∠ACE=∠AEC。设∠AEC=m，则α+2m=180°，m=90°-α/2。
∵BC=BD，∴△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC。设∠BDC=n，则β+2n=180°，n=90°-β/2。
∵∠AEC是△CEB的外角，∴m=β+∠ECB。
∵∠BDC是△ADC的外角，∴n=α+∠ACD。
∵∠DCE=40°，∴∠ACD=m-40°，∠ECB=n-40°。
代入得：m=β+n-40°，n=α+m-40°。
两式相加：m+n=α+β+m+n-80°，化简得α+β=80°。
∵α+β=180°-x，∴180°-x=80°，解得x=100°。

15. 在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=100^{\circ}$，点$D$在边$BC$上，连接$AD$. 若$\triangle ABD$为直角三角形，则$\angle ADB$的度数是.

50°或90°

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，则∠B=∠C=(180°-100°)/2=40°。△ABD为直角三角形，分两种情况：
1. 若∠BAD=90°，则∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-90°-40°=50°；
2. 若∠ADB=90°，则∠ADB=90°。
综上，∠ADB的度数是50°或90°。