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24.已知四边形$ABCD$的一组对边$AD$，$BC$的延长线相交于点$E$.
(1)如图①，若$\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$，求证$ED· EA=EC· EB$.
(2)如图②，若$\angle ABC=120^{\circ}$，$\cos\angle ADC=\frac{3}{5}$，$CD=5$，$AB=12$，$\triangle CDE$的面积为$6$，求四边形$ABCD$的面积.
(3)如图③，另一组对边$AB$，$DC$的延长线相交于点$F$，若$\cos\angle ABC=\cos\angle ADC=\frac{3}{5}$，$CD=5$，$CF=ED=n$，直接写出$AD$的长（用含$n$的式子表示）.
(1)如图①，若$\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$，求证$ED· EA=EC· EB$.
(2)如图②，若$\angle ABC=120^{\circ}$，$\cos\angle ADC=\frac{3}{5}$，$CD=5$，$AB=12$，$\triangle CDE$的面积为$6$，求四边形$ABCD$的面积.
(3)如图③，另一组对边$AB$，$DC$的延长线相交于点$F$，若$\cos\angle ABC=\cos\angle ADC=\frac{3}{5}$，$CD=5$，$CF=ED=n$，直接写出$AD$的长（用含$n$的式子表示）.
答案
解：$(1)$∵$∠ADC=90°$
∴$∠EDC=90°$
∴$∠ABE=∠CDE$
又∵$∠AEB=∠CED$
∴$△EAB∽△ECD$
∴$\frac {EB}{ED}=\frac {EA}{EC}$
∴$ED·EA=EC·EB$
$(2)$过$C$作$CF⊥AD$于$F，$$AG⊥EB$于$G．$
∵$CD=5，$$cos∠ADC=\frac {DF}{CD}=\frac 3 5$
∴$DF=3，$$CF=4$
∵$S_{△CDE}=\frac 1 2DE·CF=6$
∴$DE=3$
∴$EF=6$
∵$AB=12，$$∠ABG=180°-∠ABC=60°$
∴$AG=6\sqrt {3}，$$BG=6$
由$(1)$得，$△EFC∽△EGA$
∴$\frac {EF}{EG}=\frac {CF}{AG}，$即$\frac 6{EG}=\frac {4}{6\sqrt {3}}$
∴$EG=9\sqrt {3}$
∴$BE=9\sqrt {3}-6$
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABE}-S_{△CDE}=\frac 1 2×(9\sqrt {3}-6)×6\sqrt {3}-6=75-18\sqrt {3}$
$(3)\frac {5n+25}{n+6}$
