20. (6分)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 2\angle C$，$AD\perp BC$于点$D$，点$M$是$BC$的中点。求证：$AB = 2DM$。

取AB中点N，连接DN、NM。
∵AD⊥BC，∴Rt△ABD中，DN为斜边AB中线，∴DN=AB/2，且DN=BN，∠NDB=∠B。
∵M为BC中点，∴NM是△ABC中位线，∴NM//AC，∠NMB=∠C。
设∠C=α，则∠B=2α，∴∠NDB=2α，∠NMB=α。
∵∠NDB是△DNM外角，∴∠NDB=∠DNM+∠DMN，即2α=∠DNM+∠DMN。
∵NM//AC，D在BC上，∴∠DMN=∠NMB=α，∴∠DNM=2α - α=α。
∴∠DNM=∠DMN，∴DN=DM。
∵DN=AB/2，∴AB=2DN=2DM。
证毕。

21. (6分)如图，直线$y = 2x + 6$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0)$的图象交于点$A(1,m)$，与$x$轴交于点$B$，平行于$x$轴的直线$y = n(0\lt n\lt8)$交反比例函数的图象于点$M$，交$AB$于点$N$，连接$BM$。
(1)求$m$的值和反比例函数的表达式。
(2)当$n$为何值时，$\triangle BMN$的面积最大？最大值为多少？

(1)
已知点$A(1,m)$在直线$y = 2x + 6$上，将$x = 1$代入直线方程可得：
$m=2×1 + 6=8$
因为点$A(1,8)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0)$的图象上，将$A(1,8)$代入反比例函数可得：
$8=\frac{k}{1}$，解得$k = 8$
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2)
对于直线$y = 2x + 6$，令$y = 0$，则$0=2x + 6$，解得$x=-3$，所以$B(-3,0)$。
因为平行于$x$轴的直线$y = n(0\lt n\lt8)$交反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象于点$M$，则$M$点纵坐标为$n$，把$y = n$代入$y=\frac{8}{x}$可得$x=\frac{8}{n}$，即$M(\frac{8}{n},n)$。
直线$y = n$与直线$AB:y = 2x + 6$交于点$N$，把$y = n$代入$y = 2x + 6$可得$n=2x + 6$，解得$x=\frac{n - 6}{2}$，即$N(\frac{n - 6}{2},n)$。
则$MN$的长度为$\frac{8}{n}-\frac{n - 6}{2}=\frac{16 - n(n - 6)}{2n}=\frac{16 - n^{2}+6n}{2n}$，$B$到$MN$的距离（高）为$n$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$\triangle BMN$的面积$S=\frac{1}{2}× n×\left(\frac{8}{n}-\frac{n - 6}{2}\right)=\frac{1}{2}× n×\frac{16 - n^{2}+6n}{2n}=\frac{-n^{2}+6n + 16}{4}=-\frac{1}{4}(n - 3)^{2}+\frac{25}{4}$。
因为$-\frac{1}{4}\lt0$，所以当$n = 3$时，$\triangle BMN$的面积有最大值，最大值为$\frac{25}{4}$。
综上，答案为：(1)$m = 8$，反比例函数表达式为$y=\frac{8}{x}$；(2)当$n = 3$时，$\triangle BMN$的面积最大，最大值为$\frac{25}{4}$。

(1)将$A(1,m)$代入$y=2x+6$，得$m=2×1 + 6=8$，则$A(1,8)$。
将$A(1,8)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$8=\frac{k}{1}$，解得$k=8$，故反比例函数表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2)在$y=2x+6$中，令$y=0$，得$2x+6=0$，解得$x=-3$，则$B(-3,0)$。
对于$y=n$，与$y=\frac{8}{x}$交于$M\left(\frac{8}{n},n\right)$，与$y=2x+6$交于$N\left(\frac{n - 6}{2},n\right)$。
$MN=\frac{8}{n}-\frac{n - 6}{2}=\frac{8}{n}-\frac{n}{2}+3$。
$S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}× MN× n=\frac{1}{2}\left(\frac{8}{n}-\frac{n}{2}+3\right)n=\frac{1}{2}\left(8-\frac{n^2}{2}+3n\right)=-\frac{1}{4}n^2+\frac{3}{2}n + 4$。
$a=-\frac{1}{4}\lt0$，抛物线开口向下，对称轴$n=-\frac{\frac{3}{2}}{2×\left(-\frac{1}{4}\right)}=3$。
当$n=3$时，$S_{\triangle BMN}$最大，最大值为$-\frac{1}{4}×3^2+\frac{3}{2}×3 + 4=\frac{25}{4}$。
综上，当$n=3$时，$\triangle BMN$面积最大，最大值为$\frac{25}{4}$。