7. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$ABCD$的顶点$A,B,C$在坐标轴上.若点$B$的坐标为$(-1,0)$,$\angle BCD=120^{\circ}$,则点$D$的坐标为()

A.$(2,2)$
B.$(\sqrt{3},2)$
C.$(3,\sqrt{3})$
D.$(2,\sqrt{3})$

D

设菱形边长为$a$，$B(-1,0)$，$C$在$x$轴上，$BC=a$，则$C(a - 1,0)$。$A$在$y$轴上，设$A(0,b)$，$AB=\sqrt{1 + b^2}=a$。$AD// BC$（水平），故$D$纵坐标为$b$，$AD=BC=a$，则$D(a, b)$。$\angle BCD=120°$，向量$\overrightarrow{CB}=(-a,0)$，$\overrightarrow{CD}=(1,b)$，由向量夹角公式$\cos120°=\frac{-a}{a^2}=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，得$a=2$。代入$1 + b^2=a^2$，得$b=\sqrt{3}$，故$D(2,\sqrt{3})$。

8. 用科学计算器进行计算,其按键顺序及结果如下:
$\boxed{2}\ \boxed{y^{x}}\ \boxed{3}\ \boxed{-}\ \boxed{\sqrt{\ }}\ \boxed{1}\ \boxed{6}\ \boxed{=}$按键的结果为$m$;
$\boxed{2ndF}\ \boxed{\sqrt{\ }}\ \boxed{6}\ \boxed{4}\ \boxed{-}\ \boxed{2}\ \boxed{x^{2}}\ \boxed{=}$按键的结果为$n$;
$\boxed{9}\ \boxed{a^{b}/c}\ \boxed{2}\ \boxed{-}\ \boxed{\cos}\ \boxed{6}\ \boxed{0}\ \boxed{=}$按键的结果为$k$.
下列判断正确的是()
A.$m = n$
B.$n = k$
C.$m = k$
D.$m = n = k$

D

计算$m$：按键顺序为$2^{3}-\sqrt{16}$，即$2^3 - \sqrt{16}=8 - 4=4$，故$m=4$；
计算$n$：按键顺序为$\sqrt{64}-2^2$（$2ndF\sqrt$此处为平方根功能），即$\sqrt{64}-2^2=8 - 4=4$，故$n=4$；
计算$k$：按键顺序为$\frac{9}{2}-\cos60°$，即$4.5 - 0.5=4$，故$k=4$；
综上，$m=n=k$。

9. 已知关于$x$的一元二次方程$2x^{2}-mnx + m + n = 0$,其中$m,n$在数轴上的对应点如图所示,则这个方程的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

A

根据题目，方程为$2x^2 - mnx + m + n = 0$，其判别式为：
$\Delta = (mn)^2 - 4 × 2 × (m + n) = m^2n^2 - 8(m + n)$，
由题中数轴可知，$m ＜ 0$，$n＞0$，且$|m|＞0$，$|n|＞0$，则$m+n$的值无法确定正负，但$m^2n^2$始终为正，且$8(m + n)$的绝对值小于$m^2n^2$（因为$m^2n^2$是二次项，而$8(m + n)$是一次项，当$m$，$n$不为0时，$m^2n^2$的影响更大）。
所以$\Delta = m^2n^2 - 8(m + n) ＞ 0$，
因此，方程有两个不相等的实数根。

10. 在区间$(0,1)$中随机取出两个数,则两数之和不小于$\frac{4}{5}$的概率是()
A.$\frac{8}{25}$
B.$\frac{9}{25}$
C.$\frac{16}{25}$
D.$\frac{17}{25}$

D

设取出的两个数为$x$，$y$，则$0 ＜ x ＜ 1$，$0 ＜ y ＜ 1$，所有基本事件对应区域为边长为1的正方形，面积$S=1$。事件“两数之和不小于$\frac{4}{5}$”即$x + y \geq \frac{4}{5}$，对应区域为正方形内直线$x + y = \frac{4}{5}$上方部分。直线$x + y = \frac{4}{5}$与坐标轴交于$(0,\frac{4}{5})$和$(\frac{4}{5},0)$，其下方区域为直角边为$\frac{4}{5}$的直角三角形，面积$S_{\triangle}=\frac{1}{2}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}=\frac{8}{25}$。故所求概率$P=1 - S_{\triangle}=1 - \frac{8}{25}=\frac{17}{25}$。

11. 如图,二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过点$A(-1,0)$,$B(3,0)$,与$y$轴交于点$C$.有下列结论:①$ac＞0$;②当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大;③$3a + c = 0$;④$a + b\geq am^{2}+bm$.其中正确的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

由抛物线过A(-1,0)、B(3,0)，得对称轴为x=1，开口向下（图像有最高点），故a＜0。与y轴交于C(0,c)，C在y轴正半轴，故c＞0。
①ac：a＜0，c＞0，ac＜0，①错误；
②对称轴x=1，开口向下，x＜1时y随x增大而增大，x＞1时减小。x＞0时，0＜x＜1增大，x＞1减小，②错误；
③抛物线解析式可写为y=a(x+1)(x-3)，当x=0时，y=-3a=c，即c=-3a，故3a+c=0，③正确；
④x=1时y取最大值，即a+b+c≥am²+bm+c，化简得a+b≥am²+bm，④正确。
正确的有③④，共2个。

12. 由12个有公共顶点$O$的直角三角形拼成的图形如图所示,$\angle AOB=\angle BOC=\cdots=\angle LOM = 30^{\circ}$.若$OA = 16$,则$OG$的长为()

A.$\frac{27}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{9}{2}\sqrt{3}$
D.$\frac{27}{8}\sqrt{3}$

A

由题意知，12个直角三角形以O为公共顶点，每个相邻角∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°，共12×30°=360°。每个直角三角形中，∠AOB,∠BOC,…,∠LOM为30°，直角在顶点B,C,D,…,M处，即前一线段为斜边，后一线段为30°角邻边，构成等比数列，公比为cos30°。
OA=16，OB=OA·cos30°，OC=OB·cos30°=OA·(cos30°)²，…，OG为第6项，故OG=OA·(cos30°)⁶。
cos30°=√3/2，(√3/2)⁶=27/64，所以OG=16×27/64=27/4。