24. (12 分)如图 1,直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ B $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 经过 $ B $,$ C $ 两点,点 $ P $ 是抛物线上的一个动点,过点 $ P $ 作 $ PQ \perp x $ 轴,垂足为点 $ Q $,交直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $ 于点 $ D $. 设点 $ P $ 的横坐标为 $ m $.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若以 $ P $,$ D $,$ O $,$ C $ 为顶点的四边形是平行四边形,求点 $ Q $ 的坐标；
(3)如图 2,当点 $ P $ 位于直线 $ BC $ 上方的抛物线上时,过点 $ P $ 作 $ PE \perp BC $ 于点 $ E $,当 $ PE $ 取得最大值时,求点 $ P $ 的坐标,并求出 $ PE $ 的最大值.

(1) $ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 2 $；(2) $ (2,0) $，$ (2+2\sqrt{2},0) $，$ (2-2\sqrt{2},0) $；(3) $ P(2,3) $，$ PE_{max} = \frac{4\sqrt{5}}{5} $。

24. (1) 对于直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $，令 $ x=0 $，得 $ y=2 $，则 $ C(0,2) $；令 $ y=0 $，得 $ x=4 $，则 $ B(4,0) $。
将 $ B(4,0) $，$ C(0,2) $ 代入抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c $，得 $ c=2 $，且 $ 0 = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4b + 2 $，解得 $ b = \frac{3}{2} $。
抛物线表达式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 2 $。
(2) 设 $ P(m, -\frac{1}{2}m^2 + \frac{3}{2}m + 2) $，则 $ D(m, -\frac{1}{2}m + 2) $，$ Q(m,0) $。
$ PD = |y_P - y_D| = |-\frac{1}{2}m^2 + 2m| $，$ OC=2 $。
若四边形 $ PDOC $ 为平行四边形，则 $ PD=OC=2 $，即 $ |-\frac{1}{2}m^2 + 2m|=2 $。
当 $ -\frac{1}{2}m^2 + 2m=2 $ 时，$ m^2 - 4m + 4=0 $，解得 $ m=2 $；
当 $ -\frac{1}{2}m^2 + 2m=-2 $ 时，$ m^2 - 4m - 4=0 $，解得 $ m=2±2\sqrt{2} $。
$ Q $ 坐标为 $ (2,0) $，$ (2+2\sqrt{2},0) $，$ (2-2\sqrt{2},0) $。
(3) 直线 $ BC $：$ x + 2y - 4=0 $，点 $ P(m, y_P) $ 到 $ BC $ 的距离 $ PE = \frac{|m + 2y_P - 4|}{\sqrt{5}} $。
$ y_P = -\frac{1}{2}m^2 + \frac{3}{2}m + 2 $，则 $ m + 2y_P - 4 = -m^2 + 4m $，$ PE = \frac{-m^2 + 4m}{\sqrt{5}} $。
当 $ m=2 $ 时，$ PE $ 最大，最大值为 $ \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} $，此时 $ P(2,3) $。