18. (本题6分)
现有两名同学将一个二次三项式因式分解,一名同学因看错了一次项的系数而分解成$3(x-1)(x-4)$,另一名同学因看错了常数项而分解成$3(x-2)(x+6)$.
(1) 求原多项式;
(2) 将原多项式进行分解因式.

(1)$3x^2+12x+12$；(2)$3(x+2)^2$。

(1) 第一个同学分解结果：$3(x-1)(x-4)=3(x^2-5x+4)=3x^2-15x+12$，因看错一次项系数，故二次项系数$3$和常数项$12$正确；
第二个同学分解结果：$3(x-2)(x+6)=3(x^2+4x-12)=3x^2+12x-36$，因看错常数项，故二次项系数$3$和一次项系数$12$正确；
综上，原多项式为$3x^2+12x+12$。
(2) $3x^2+12x+12=3(x^2+4x+4)=3(x+2)^2$。

19. (本题10分)
(1) 计算:$\frac {x^{2}}{x-1}-x-1$.
(2) 小林化简$(\frac {a+2}{a^{2}-2a}-\frac {a-1}{a^{2}-4a+4})÷ \frac {a-4}{a^{3}}$后说:“在原分式有意义的前提下,分式的值一定是正数.”你同意小林的说法吗? 请说明理由.

(1) $\frac{x^2}{x - 1} - x - 1$
$\begin{aligned}&=\frac{x^2}{x - 1} - (x + 1)\\&=\frac{x^2}{x - 1} - \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}\\&=\frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x - 1}\\&=\frac{x^2 - x^2 + 1}{x - 1}\\&=\frac{1}{x - 1}\end{aligned}$
(2) 同意。
化简过程：
$\begin{aligned}&(\frac{a + 2}{a^2 - 2a} - \frac{a - 1}{a^2 - 4a + 4}) ÷ \frac{a - 4}{a^3}\\=&\left[\frac{a + 2}{a(a - 2)} - \frac{a - 1}{(a - 2)^2}\right] × \frac{a^3}{a - 4}\\=&\left[\frac{(a + 2)(a - 2) - a(a - 1)}{a(a - 2)^2}\right] × \frac{a^3}{a - 4}\\=&\left[\frac{a^2 - 4 - a^2 + a}{a(a - 2)^2}\right] × \frac{a^3}{a - 4}\\=&\frac{a - 4}{a(a - 2)^2} × \frac{a^3}{a - 4}\\=&\frac{a^2}{(a - 2)^2}\end{aligned}$
原分式有意义的条件：$a \neq 0$，$a \neq 2$，$a \neq 4$。此时$a^2 ＞ 0$，$(a - 2)^2 ＞ 0$，则$\frac{a^2}{(a - 2)^2} ＞ 0$，分式的值一定是正数。