24. 已知直线$AB与CD相交于点O$,射线$OE在\angle AOD$的内部,$\angle AOC= 70°-\frac{1}{2}\angle AOE$。


(1)如图①,当$\angle AOE= 40°$时,请写出与$\angle BOD$互余的角,并说明理由；
(2)如图②,若$OF平分\angle BOE$,求$\angle DOF$的度数。

(1) ∠AOE；(2) 20°。

(1) 与∠BOD互余的角是∠AOE。
理由：∵∠AOE=40°，∴∠AOC=70°-1/2×40°=50°。
∵直线AB与CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=50°（对顶角相等）。
∵∠AOE=40°，∴∠BOD+∠AOE=50°+40°=90°，故∠AOE与∠BOD互余。
(2) 设∠AOE=x，则∠AOC=70°-1/2x，∠BOD=∠AOC=70°-1/2x（对顶角相等）。
∠AOD=180°-∠AOC=180°-(70°-1/2x)=110°+1/2x。
∵OE在∠AOD内部，∴∠EOD=∠AOD-∠AOE=(110°+1/2x)-x=110°-1/2x。
∠BOE=180°-∠AOE=180°-x（平角定义）。
∵OF平分∠BOE，∴∠BOF=1/2∠BOE=1/2(180°-x)=90°-1/2x。
∠DOF=∠BOF-∠BOD=(90°-1/2x)-(70°-1/2x)=20°。

25. 【探究发现】如图①,点$C$,$D在线段AB$上,$E$,$F分别是AC$,$BD$的中点。
(1)若$AB= 18$,$CD= 2$,$AC= 6$,求$EF$的长；
(2)若$EF= 12$,$CD= 4$,则$AB$的长为；
(3)若$AB= a$,$CD= b$,则$EF$的长为；(用含$a$,$b$的代数式表示)
【类比应用】如图②,射线$OC$,$OD在\angle AOB$内部,$OE$,$OF分别平分\angle AOC$,$\angle BOD$。
(4)若$\angle AOB= 150°$,$\angle COD= 20°$,则$\angle EOF$的度数为；
(5)若$\angle AOB= \alpha$,$\angle COD= \beta$,则$\angle EOF= $。(用含$\alpha$,$\beta$的代数式表示)

(1)
因为$E$是$AC$中点，$AC = 6$，所以$EC=\frac{1}{2}AC = 3$。
因为$AB = 18$，$CD = 2$，$AC = 6$，所以$AD=AC + CD=6 + 2 = 8$，则$BD=AB - AD=18-(6 + 2)=10$。
又因为$F$是$BD$中点，所以$DF=\frac{1}{2}BD = 5$。
那么$EF=EC+CD+DF=3 + 2+5 = 10$。
(2)
因为$E$是$AC$中点，$F$是$BD$中点，所以$EC=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BD$。
$EF=EC + CD+DF=\frac{1}{2}AC + CD+\frac{1}{2}BD$。
已知$EF = 12$，$CD = 4$，则$\frac{1}{2}(AC + BD)+4 = 12$，$\frac{1}{2}(AC + BD)=8$，$AC + BD = 16$。
所以$AB=AC + CD+BD=16 + 4 = 20$。
(3)
因为$E$是$AC$中点，$F$是$BD$中点，所以$EC=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BD$。
$EF=EC + CD+DF=\frac{1}{2}AC + CD+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC + BD)+CD$。
$AB=AC + CD+BD$，$AC + BD=AB - CD$。
所以$EF=\frac{1}{2}(AB - CD)+CD=\frac{1}{2}(a - b)+b=\frac{a - b+2b}{2}=\frac{a + b}{2}$。
(4)
因为$OE$平分$\angle AOC$，所以$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle AOC$。
因为$OF$平分$\angle BOD$，所以$\angle DOF=\frac{1}{2}\angle BOD$。
$\angle EOF=\angle EOC+\angle COD+\angle DOF=\frac{1}{2}\angle AOC+\angle COD+\frac{1}{2}\angle BOD$。
已知$\angle AOB = 150^{\circ}$，$\angle COD = 20^{\circ}$，则$\angle AOC+\angle BOD=\angle AOB-\angle COD=150 - 20 = 130^{\circ}$。
所以$\angle EOF=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle BOD)+\angle COD=\frac{1}{2}×130+20=65 + 20 = 85^{\circ}$。
(5)
因为$OE$平分$\angle AOC$，$OF$平分$\angle BOD$，所以$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle AOC$，$\angle DOF=\frac{1}{2}\angle BOD$。
$\angle EOF=\angle EOC+\angle COD+\angle DOF=\frac{1}{2}\angle AOC+\angle COD+\frac{1}{2}\angle BOD=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle BOD)+\angle COD$。
因为$\angle AOC+\angle BOD=\angle AOB-\angle COD=\alpha-\beta$。
所以$\angle EOF=\frac{1}{2}(\alpha - \beta)+\beta=\frac{\alpha - \beta + 2\beta}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}$。
综上，答案依次为：(1)$10$；(2)$20$；(3)$\frac{a + b}{2}$；(4)$85^{\circ}$；(5)$\frac{\alpha+\beta}{2}$。