8. 已知一个直棱柱,它有 21 条棱,其中一条侧棱长为 10 cm,底面各边长都为 4 cm.
(1)这个直棱柱是棱柱,它有个面,个顶点.
(2)这个棱柱的所有棱长和是cm;
(3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是cm.

(1)
设这个直棱柱为$n$棱柱，因为$n$棱柱有$3n$条棱，已知有$21$条棱，则$3n = 21$，解得$n = 7$。
七棱柱有$9$个面（$2$个底面和$7$个侧面），$14$个顶点。
故答案为：七；$9$；$14$。
(2)
侧棱长总和为$7×10 = 70cm$，底面各边长总和为$2×7×4 = 56cm$，所有棱长和为$70 + 56=126cm$。
故答案为：$126$。
(3)
侧面为$7$个长方形，每个长方形一边长为$10cm$，另一边长为$4cm$，则所有侧面的面积之和为$7×4×10 = 280cm^{2}$。
故答案为：$280$。

9. 简单多面体中顶点数(V)、面数(F)与棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,这个关系式被称为欧拉公式.请观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题.

(1)根据上面的多面体模型,将表格补充完整.
|多面体|顶点数(V)|面数(F)|棱数(E)|
|四面体||||
|长方体||||
|正八面体||||
|正十二面体||||

我们可以发现,顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间存在的关系是.
(2)已知一个多面体的面数比顶点数多 8,且有 30 条棱,则这个多面体的面数是.
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形拼接而成的,且有 24 个顶点,每个顶点处都有 3 条棱.求该多面体的面数.

（1）
|多面体|顶点数(V)|面数(F)|棱数(E)|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|四面体|4|4|6|
|长方体|8|6|12|
|正八面体|6|8|12|
|正十二面体|20|12|30|
$V + F - E=4 + 4 - 6 = 2$，$8 + 6 - 12 = 2$，$6 + 8 - 12 = 2$，$20+12 - 30 = 2$，所以$V + F - E = 2$。
（2）设顶点数为$x$，则面数为$x + 8$，已知$E = 30$，由$V + F - E = 2$可得$x+(x + 8)-30 = 2$，$2x=24$，$x = 11+8= 20 - 8+8=20$，面数$F=x + 8=20$。
（3）因为每个顶点处都有$3$条棱，$24$个顶点，而每两条棱在顶点处重复计算一次，所以棱数$E=\frac{24×3}{2}=36$，设面数为$F$，顶点数$V = 24$，由$V + F - E = 2$可得$24+F - 36 = 2$，$F=14$。
答题卡填写：
姓名：[姓名]
班级：[班级]
（1）表格依次填入：4，4，6；8，6，12；6，8，12；20，12，30；$V + F - E = 2$
（2）20
（3）14