7. 如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横断面图,斜坡AB的长为15 m,坡角为45°.为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡度为1:1.6的斜坡AD,在CB方向距点B 5 m处有一座房屋.在背水坡改造的施工过程中,此处房屋是否需要拆除?(参考数据:$\sqrt{2}$≈1.4)

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，AB=15m。
∵sin45°=AC/AB，cos45°=BC/AB，且∠B=45°，∴AC=BC。
AC=AB·sin45°≈15×(√2/2)≈15×0.7=10.5m，故BC≈10.5m。
改造后斜坡AD坡度i=1:1.6，即AC/CD=1/1.6，∴CD=AC×1.6=10.5×1.6=16.8m。
BD=CD-BC=16.8-10.5=6.3m。
∵房屋在CB方向距B点5m，且5m＜6.3m，∴房屋需拆除。
结论：此处房屋需要拆除。

8. 如图①,在一个坡角(∠MON)为30°的斜坡ON上有一棵大树AB(与地面垂直),从斜坡底端点O处测得大树顶端B的仰角(∠BOM)为60°,OA= 6.4 m.
(1) 求大树AB的高度;
(2) 如图②,某时刻太阳光线与水平线的夹角为26.5°,大树AB在阳光下的影子AD落在斜坡上,求影子AD的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:tan26.5°≈0.50,sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,$\sqrt{2}$≈1.41,$\sqrt{3}$≈1.73)

(1)过点A作AC⊥OM于点C，在Rt△OAC中，∠AOC=30°，OA=6.4m，
∴AC=OA·sin30°=6.4×0.5=3.2(m)，
OC=OA·cos30°=6.4×(√3/2)=3.2√3(m)。
在Rt△OBC中，∠BOC=60°，
∴BC=OC·tan60°=3.2√3×√3=9.6(m)。
∵AB⊥OM，AC⊥OM，∴AB=BC-AC=9.6-3.2=6.4(m)。
(2)设AD=x m，D在ON上且OD=OA-AD=(6.4-x)m，过D作DE⊥OM于E，过B作BF⊥DE延长线于F。
在Rt△ODE中，DE=OD·sin30°=(6.4-x)×0.5=3.2-0.5x，
OE=OD·cos30°=(6.4-x)·(√3/2)。
BF=OC-OE=3.2√3-(6.4-x)·(√3/2)= (√3/2)x，
DF=BC-DE=9.6-(3.2-0.5x)=6.4+0.5x。
在Rt△BDF中，tan26.5°=BF/DF≈0.5，即 (√3/2)x=0.5(6.4+0.5x)，
代入√3≈1.73，得0.865x=0.5(6.4+0.5x)，
解得x≈5.2。
(1)6.4m；(2)5.2m。

9. 在一次课题设计活动中,小明对修建一座87 m长的水库大坝提出了以下方案:大坝的横断面为等腰梯形,如图,AD//BC,坝高10 m,迎水坡面AB的坡度i= 5:3,老师看过后,从力学的角度对此方案提出了建议,小明决定在原方案的基础上,将迎水坡面AB的坡度进行修改,修改后的迎水坡面AE的坡度i= 5:6.
(1) 求原方案中此大坝迎水坡AB的长(结果保留根号);
(2) 如果方案修改前后修建大坝所需土石方的总体积不变,在方案修改后,若坝顶沿EC方向拓宽2.7 m,坝底将会沿AD方向加宽多少?

1. （1）
解：过点$B$作$BF\perp AD$于点$F$。
因为迎水坡面$AB$的坡度$i = 5:3$，坝高$BF = 10m$，坡度$i=\frac{BF}{AF}$。
设$BF = 5x$，$AF = 3x$，已知$BF = 10m$，则$5x = 10$，解得$x = 2$。
所以$AF=3x = 6m$。
在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{BF^{2}+AF^{2}}$，将$BF = 10m$，$AF = 6m$代入可得：
$AB=\sqrt{10^{2}+6^{2}}=\sqrt{100 + 36}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}(m)$。
2. （2）
解：过点$E$作$EG\perp AD$于点$G$。
因为修改后的迎水坡面$AE$的坡度$i = 5:6$，$EG = BF = 10m$，坡度$i=\frac{EG}{AG}$。
设$EG = 5y$，$AG = 6y$，由$EG = 10m$，得$5y = 10$，$y = 2$，则$AG = 12m$。
因为$BF\perp AD$，$EG\perp AD$，所以$BF// EG$，又$BC// AD$，所以四边形$BFGE$是矩形，则$FG = BE$。
已知$BE = 2.7m$，$AF = 6m$，$AG = 12m$。
设坝底沿$AD$方向加宽$a$米。
由于方案修改前后修建大坝所需土石方的总体积不变，即梯形$ABCD$与梯形$AECD$的面积相等。
$S_{梯形ABCD}=S_{梯形AECD}$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底 + 下底)×高$，可得$\frac{1}{2}(BC + AD)× BF=\frac{1}{2}(EC + AD + a)× EG$，因为$BF = EG$，$BC=EC + BE$，所以$BC× BF=(EC + AD + a)× BF-(AD× BF)$，即$BC=EC + a - BE$，又因为$BC - EC=BE + a$，而$AG - AF=a + BE$（由$S_{梯形ABFE}=S_{\triangle AEG}-S_{\triangle AFD}$等积关系推导，本质是$AG - AF$与$BE + a$的关系）。
把$AF = 6m$，$AG = 12m$，$BE = 2.7m$代入$AG - AF=a + BE$。
则$12−6=a + 2.7$。
解得$a=3.3m$。
综上，（1）原方案中此大坝迎水坡$AB$的长为$2\sqrt{34}m$；（2）坝底将会沿$AD$方向加宽$3.3m$。