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7. 某学校开设了丰富的选修课程,其中滑板是深受学生喜爱的课程之一. 某班需要购买 $ 8 $ 块滑板和若干套滑板护具. 现了解：A、B 两家商店出售同样品牌的滑板和滑板护具,滑板定价 $ 75 $ 元一块,滑板护具定价 $ 24 $ 元一套. 恰逢“双 $ 11 $”,商店出台优惠方案：A 店可以按定价的 $ 9 $ 折优惠；B 店每买一块滑板赠送滑板护具一套. 若该班需购买滑板护具 $ x $ 套. (不少于 $ 8 $ 套)
(1) 用含 $ x $ 的代数式,分别表示到 A、B 两店购买所需的费用；(列式并化简)
(2) 当需要购买 $ 30 $ 套滑板护具时,有几种购买方案？哪种方案更省钱？
(1) 用含 $ x $ 的代数式,分别表示到 A、B 两店购买所需的费用；(列式并化简)
(2) 当需要购买 $ 30 $ 套滑板护具时,有几种购买方案？哪种方案更省钱？
答案
(1)
A 店：$y_{A}=(8×75 + 24x)×0.9=540+21.6x$；
B 店：$y_{B}=8×75 + 24(x - 8)=600+24x - 192=408+24x$。
(2)
当$x = 30$时：
在 A 店购买所需费用$y_{A}=540+21.6×30=540 + 648=1188$（元）；
在 B 店购买所需费用$y_{B}=408+24×30=408 + 720=1128$（元）；
两种方案：
方案一：全在 A 店买，费用为$1188$元；
方案二：全在 B 店买，费用为$1128$元；
方案三：先在 B 店买 8 块滑板送 8 套护具，再在 A 店买$30 - 8 = 22$套护具，费用为$8×75+22×24×0.9=600 + 475.2 = 1075.2$（元）。
比较$1075.2\lt1128\lt1188$，方案三更省钱。
综上，有 3 种购买方案，方案三（先在 B 店买 8 块滑板送 8 套护具，再在 A 店买 22 套护具）更省钱。
A 店：$y_{A}=(8×75 + 24x)×0.9=540+21.6x$；
B 店：$y_{B}=8×75 + 24(x - 8)=600+24x - 192=408+24x$。
(2)
当$x = 30$时：
在 A 店购买所需费用$y_{A}=540+21.6×30=540 + 648=1188$（元）；
在 B 店购买所需费用$y_{B}=408+24×30=408 + 720=1128$（元）；
两种方案：
方案一：全在 A 店买，费用为$1188$元；
方案二：全在 B 店买，费用为$1128$元；
方案三：先在 B 店买 8 块滑板送 8 套护具，再在 A 店买$30 - 8 = 22$套护具，费用为$8×75+22×24×0.9=600 + 475.2 = 1075.2$（元）。
比较$1075.2\lt1128\lt1188$，方案三更省钱。
综上，有 3 种购买方案，方案三（先在 B 店买 8 块滑板送 8 套护具，再在 A 店买 22 套护具）更省钱。
8. 如果一个四位自然数 $ M = \overline{abcd} $ 满足 $ a + c = 2(b + d) $,那么称这个四位数为“$ 2 $ 倍和数”. 例如：四位数 $ 8103 $,因为 $ 8 + 0 = 2 × (1 + 3) $,所以 $ 8103 $ 是“$ 2 $ 倍和数”；又如：四位数 $ 9125 $,因为 $ 9 + 2 \neq 2 × (1 + 5) $,所以 $ 9125 $ 不是“$ 2 $ 倍和数”.
(1) 若 $ M = \overline{abcd} $ 是“$ 2 $ 倍和数”,则 $ M $ 的最小值是
(2) $ M = \overline{abcd} $ 是一个“$ 2 $ 倍和数”,去掉其个位数字得到一个三位数 $ M_{1} = \overline{abc} $,记 $ F(M) = |b - d| $,若 $ M_{1} = \overline{abc} $ 是 $ 11 $ 的倍数,则 $ F(M) $ 的最大值与最小值的和为
(1) 若 $ M = \overline{abcd} $ 是“$ 2 $ 倍和数”,则 $ M $ 的最小值是
1011
；(2) $ M = \overline{abcd} $ 是一个“$ 2 $ 倍和数”,去掉其个位数字得到一个三位数 $ M_{1} = \overline{abc} $,记 $ F(M) = |b - d| $,若 $ M_{1} = \overline{abc} $ 是 $ 11 $ 的倍数,则 $ F(M) $ 的最大值与最小值的和为
9
.答案
1011；9
解析
(1)要使四位数$M = \overline{abcd}$最小，千位$a=1$，百位$b=0$。由“2倍和数”条件$a + c = 2(b + d)$，当$a=1$，$b=0$时，$1 + c = 2d$。$c$最小取1，得$d=1$，故$M$最小值为1011。
(2)$M_1 = \overline{abc}$是11的倍数，三位数11的倍数特征：$(a + c)-b=0$或11。“2倍和数”有$a + c=2(b + d)$。若$(a + c)-b=0$，则$b=2(b + d)$，矛盾；故$a + c=b + 11$，代入得$b + 2d=11$，$d=(11 - b)/2$。$b$为奇数（1,3,5,7,9），$F(M)=|b - d|=|(3b - 11)/2|$。计算得$F(M)$值：4,1,2,5,8。最大8，最小1，和为9。
(2)$M_1 = \overline{abc}$是11的倍数，三位数11的倍数特征：$(a + c)-b=0$或11。“2倍和数”有$a + c=2(b + d)$。若$(a + c)-b=0$，则$b=2(b + d)$，矛盾；故$a + c=b + 11$，代入得$b + 2d=11$，$d=(11 - b)/2$。$b$为奇数（1,3,5,7,9），$F(M)=|b - d|=|(3b - 11)/2|$。计算得$F(M)$值：4,1,2,5,8。最大8，最小1，和为9。
9. 在数轴上,$ O $ 为原点,点 $ A,B $ 对应的数分别是 $ a,b(a \neq b,ab \neq 0) $,$ M $ 为线段 $ AB $ 的中点. 给出如下定义：若 $ OA ÷ OB = 4 $,则称 $ A $ 是 $ B $ 的“正比点”；若 $ OA × OB = 4 $,则称 $ A $ 是 $ B $ 的“反比点”.
例如 $ a = 2,b = \frac{1}{2} $ 时,$ A $ 是 $ B $ 的“正比点”；$ a = 2,b = - 2 $ 时,$ A $ 是 $ B $ 的“反比点”.
(1) 若 $ |a + 2| + (b - 4)^{2} = 0 $,则 $ M $ 对应的数为
①$ A $ 是 $ M $ 的“正比点”；②$ A $ 是 $ M $ 的“反比点”；③$ B $ 是 $ M $ 的“正比点”；④$ B $ 是 $ M $ 的“反比点”.
(2) 若 $ ab ＞ 0 $,且 $ M $ 是 $ A $ 的“正比点”,求 $ \frac{b}{a} $ 的值.
(3) 若 $ ab ＜ 0 $,且 $ M $ 既是 $ A,B $ 其中一点的“正比点”,又是另一点的“反比点”,直接写出 $ \frac{b}{a} $ 的值.
例如 $ a = 2,b = \frac{1}{2} $ 时,$ A $ 是 $ B $ 的“正比点”；$ a = 2,b = - 2 $ 时,$ A $ 是 $ B $ 的“反比点”.
(1) 若 $ |a + 2| + (b - 4)^{2} = 0 $,则 $ M $ 对应的数为
1
. 下列说法正确的是③④
(填序号).①$ A $ 是 $ M $ 的“正比点”；②$ A $ 是 $ M $ 的“反比点”；③$ B $ 是 $ M $ 的“正比点”；④$ B $ 是 $ M $ 的“反比点”.
(2) 若 $ ab ＞ 0 $,且 $ M $ 是 $ A $ 的“正比点”,求 $ \frac{b}{a} $ 的值.
7
(3) 若 $ ab ＜ 0 $,且 $ M $ 既是 $ A,B $ 其中一点的“正比点”,又是另一点的“反比点”,直接写出 $ \frac{b}{a} $ 的值.
-9或-1/9
答案
(1) 1；③④
(2) 7
(3) -9或-1/9
(2) 7
(3) -9或-1/9
