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例 3 填空：
(1)若分式 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 的值为 $0$,则 $x=$
(2)若分式 $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的值为 $0$,则 $x$ 的值为
变式训练 若分式 $\frac{2 - |x|}{(x - 1)(x - 2)}$ 的值为 $0$,则 $x$ 的值为
(1)若分式 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 的值为 $0$,则 $x=$
2
；(2)若分式 $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的值为 $0$,则 $x$ 的值为
-1
。变式训练 若分式 $\frac{2 - |x|}{(x - 1)(x - 2)}$ 的值为 $0$,则 $x$ 的值为
-2
。答案
(1)$2$；(2)$-1$；变式训练：$-2$。
解析
(1) 分式的值为$0$，需要满足分子为$0$且分母不为$0$。
对于分式$\frac{x - 2}{x + 3}$，令分子$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
此时分母$x + 3 = 2 + 3 = 5 \neq 0$，所以$x = 2$。
(2) 对于分式$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$，令分子$x^2 - 1 = 0$，即$(x-1)(x+1)=0$，解得$x = \pm 1$。
但分母$x - 1 \neq 0$，所以$x \neq 1$，只能取$x = -1$。
变式训练：
对于分式$\frac{2 - |x|}{(x - 1)(x - 2)}$，令分子$2 - |x| = 0$，解得$x = \pm 2$。
但分母$(x - 1)(x - 2) \neq 0$，所以$x \neq 1$且$x \neq 2$，只能取$x = -2$。
对于分式$\frac{x - 2}{x + 3}$，令分子$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
此时分母$x + 3 = 2 + 3 = 5 \neq 0$，所以$x = 2$。
(2) 对于分式$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$，令分子$x^2 - 1 = 0$，即$(x-1)(x+1)=0$，解得$x = \pm 1$。
但分母$x - 1 \neq 0$，所以$x \neq 1$，只能取$x = -1$。
变式训练：
对于分式$\frac{2 - |x|}{(x - 1)(x - 2)}$，令分子$2 - |x| = 0$，解得$x = \pm 2$。
但分母$(x - 1)(x - 2) \neq 0$，所以$x \neq 1$且$x \neq 2$，只能取$x = -2$。
1. 下列代数式中分式有(
① $2m$,② $\frac{3}{x}$,③ $\frac{x^2 + x}{\pi}$,④ $3 - \frac{x}{y}$,⑤ $-\frac{ab}{a}$,⑥ $\frac{1}{7}$,⑦ $\frac{4x - y}{4x + y}$
A.$2$ 个
B.$3$ 个
C.$4$ 个
D.$5$ 个
C
)① $2m$,② $\frac{3}{x}$,③ $\frac{x^2 + x}{\pi}$,④ $3 - \frac{x}{y}$,⑤ $-\frac{ab}{a}$,⑥ $\frac{1}{7}$,⑦ $\frac{4x - y}{4x + y}$
A.$2$ 个
B.$3$ 个
C.$4$ 个
D.$5$ 个
答案
C
解析
分式是形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子。①$2m$是整式；②$\frac{3}{x}$，分母含字母，是分式；③$\frac{x^2 + x}{\pi}$，π是常数，分母不含字母，是整式；④$3 - \frac{x}{y} = \frac{3y - x}{y}$，分母含字母，是分式；⑤$-\frac{ab}{a}$，分母含字母，是分式；⑥$\frac{1}{7}$是整式；⑦$\frac{4x - y}{4x + y}$，分母含字母，是分式。分式有②④⑤⑦，共4个。
2. 若分式 $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 的值为 $0$,则 $x$ 的值为(
A.$2$
B.$-2$
C.$\pm 2$
D.$4$
B
)A.$2$
B.$-2$
C.$\pm 2$
D.$4$
答案
B
解析
要使分式$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$的值为$0$，需要满足分子$x^2 - 4 = 0$且分母$x - 2 \neq 0$。
由$x^2 - 4 = 0$，得$x = \pm 2$；
由$x - 2 \neq 0$，得$x \neq 2$。
综合以上两个条件，只有$x = -2$满足。
由$x^2 - 4 = 0$，得$x = \pm 2$；
由$x - 2 \neq 0$，得$x \neq 2$。
综合以上两个条件，只有$x = -2$满足。
3. 当 $x = 1$ 时,分式 $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 3x + m}$ 无意义,则 $m$ 的值为
2
。答案
2
解析
当分式无意义时，分母为0。将$x=1$代入分母$x^2 - 3x + m$，得$1^2 - 3×1 + m = 0$，即$1 - 3 + m = 0$，解得$m = 2$。
4. $x$ 满足什么条件时,下列分式有意义？
(1)$\frac{x - 2}{x + 3}$；
(2)$\frac{x - 1}{x^2}$；
(3)$\frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4}$；
(4)$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$。
(1)$\frac{x - 2}{x + 3}$；
(2)$\frac{x - 1}{x^2}$；
(3)$\frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4}$；
(4)$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$。
答案
(1)
要使分式$\frac{x - 2}{x + 3}$有意义，则分母$x + 3\neq 0$，
解得$x\neq - 3$。
(2)
要使分式$\frac{x - 1}{x^2}$有意义，则分母$x^2\neq 0$，
解得$x\neq 0$。
(3)
对$x^2 + 4x + 4$进行因式分解得$x^2 + 4x + 4=(x + 2)^2$。
要使分式$\frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4}$有意义，则分母$(x + 2)^2\neq 0$，
解得$x\neq - 2$。
(4)
对$x^2 - 3x$提取公因式得$x^2 - 3x=x(x - 3)$。
要使分式$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$有意义，则分母$x(x - 3)\neq 0$，
即$x\neq 0$且$x - 3\neq 0$，
解得$x\neq 0$且$x\neq 3$。
要使分式$\frac{x - 2}{x + 3}$有意义，则分母$x + 3\neq 0$，
解得$x\neq - 3$。
(2)
要使分式$\frac{x - 1}{x^2}$有意义，则分母$x^2\neq 0$，
解得$x\neq 0$。
(3)
对$x^2 + 4x + 4$进行因式分解得$x^2 + 4x + 4=(x + 2)^2$。
要使分式$\frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4}$有意义，则分母$(x + 2)^2\neq 0$，
解得$x\neq - 2$。
(4)
对$x^2 - 3x$提取公因式得$x^2 - 3x=x(x - 3)$。
要使分式$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$有意义，则分母$x(x - 3)\neq 0$，
即$x\neq 0$且$x - 3\neq 0$，
解得$x\neq 0$且$x\neq 3$。
5. 已知分式 $\frac{2x^2 - 18}{x + 3}$。
(1)当 $x$ 取什么值时,分式有意义？
(2)当 $x$ 取什么值时,分式的值为零？
(3)当 $x$ 取什么值时,分式的值为负数？
(1)当 $x$ 取什么值时,分式有意义？
(2)当 $x$ 取什么值时,分式的值为零？
(3)当 $x$ 取什么值时,分式的值为负数？
答案
(1)要使分式有意义，分母不为零，即$x + 3 \neq 0$，解得$x \neq -3$。
(2)分式值为零需分子为零且分母不为零。分子$2x^2 - 18 = 2(x - 3)(x + 3)$，令分子为零得$x = 3$或$x = -3$。分母$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$，故$x = 3$。
(3)分式值为负数，即$\frac{2x^2 - 18}{x + 3} ＜ 0$。分子$2x^2 - 18 = 2(x - 3)(x + 3)$，原分式可化为$\frac{2(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$（$x \neq -3$）。约分得$2(x - 3)$，则$2(x - 3) ＜ 0$且$x \neq -3$，解得$x ＜ 3$且$x \neq -3$，即$x ＜ -3$或$-3 ＜ x ＜ 3$。
(1)$x \neq -3$；(2)$x = 3$；(3)$x ＜ -3$或$-3 ＜ x ＜ 3$。
(2)分式值为零需分子为零且分母不为零。分子$2x^2 - 18 = 2(x - 3)(x + 3)$，令分子为零得$x = 3$或$x = -3$。分母$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$，故$x = 3$。
(3)分式值为负数，即$\frac{2x^2 - 18}{x + 3} ＜ 0$。分子$2x^2 - 18 = 2(x - 3)(x + 3)$，原分式可化为$\frac{2(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$（$x \neq -3$）。约分得$2(x - 3)$，则$2(x - 3) ＜ 0$且$x \neq -3$，解得$x ＜ 3$且$x \neq -3$，即$x ＜ -3$或$-3 ＜ x ＜ 3$。
(1)$x \neq -3$；(2)$x = 3$；(3)$x ＜ -3$或$-3 ＜ x ＜ 3$。
6. (1)已知 $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$,则 $\frac{x - y}{x + y}=$
(2)若 $\frac{a - b}{b} = \frac{3}{5}$,则 $\frac{b}{a}=$
$\frac{1}{7}$
。(2)若 $\frac{a - b}{b} = \frac{3}{5}$,则 $\frac{b}{a}=$
$\frac{5}{8}$
。答案
(1) $\frac{1}{7}$
(2) $\frac{5}{8}$
（填空形式答案直接呈现数值，按题目要求未用选项式）
(2) $\frac{5}{8}$
（填空形式答案直接呈现数值，按题目要求未用选项式）
解析
(1) 已知 $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$，设 $x = 4k$，$y = 3k$（$k \neq 0$）。
代入 $\frac{x - y}{x + y}$，得：
$\frac{4k - 3k}{4k + 3k} = \frac{k}{7k} = \frac{1}{7}$
(2) 已知 $\frac{a - b}{b} = \frac{3}{5}$，两边同乘 $b$，得 $a - b = \frac{3}{5}b$，即 $a = \frac{8}{5}b$。
因此 $\frac{b}{a} = \frac{b}{\frac{8}{5}b} = \frac{5}{8}$。
代入 $\frac{x - y}{x + y}$，得：
$\frac{4k - 3k}{4k + 3k} = \frac{k}{7k} = \frac{1}{7}$
(2) 已知 $\frac{a - b}{b} = \frac{3}{5}$，两边同乘 $b$，得 $a - b = \frac{3}{5}b$，即 $a = \frac{8}{5}b$。
因此 $\frac{b}{a} = \frac{b}{\frac{8}{5}b} = \frac{5}{8}$。
7. (1)已知分式 $\frac{m - 3}{m^2 - 5m + a}$,当 $m = 2$ 时,分式无意义,则 $a=$
(2)若分式 $\frac{4 - x}{x^2 - 6x + m}$ 不论 $x$ 取何实数总有意义,则 $m$ 的取值范围为
6
。(2)若分式 $\frac{4 - x}{x^2 - 6x + m}$ 不论 $x$ 取何实数总有意义,则 $m$ 的取值范围为
$m ＞ 9$
。答案
(1) $6$，(2) $m ＞ 9$（或 填写 $m$ 的取值范围大于9 的其他等价形式）
解析
(1)
根据题意，当$m = 2$时，分式无意义，即分母为$0$。
将$m = 2$代入分母$m^2 - 5m + a$，得到：
$2^2 - 5 × 2 + a = 0$，
$4 - 10 + a = 0$，
$a = 6$。
(2)
要使分式$\frac{4 - x}{x^2 - 6x + m}$不论$x$取何实数总有意义，则分母$x^2 - 6x + m$不能为$0$。
考虑二次函数$x^2 - 6x + m$的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a = 1, b = -6, c = m$。
要使分母不为$0$，则二次函数无实数根，即$\Delta ＜ 0$。
代入$a, b, c$的值，得到：
$\Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × m ＜ 0$，
$36 - 4m ＜ 0$，
$m ＞ 9$。
根据题意，当$m = 2$时，分式无意义，即分母为$0$。
将$m = 2$代入分母$m^2 - 5m + a$，得到：
$2^2 - 5 × 2 + a = 0$，
$4 - 10 + a = 0$，
$a = 6$。
(2)
要使分式$\frac{4 - x}{x^2 - 6x + m}$不论$x$取何实数总有意义，则分母$x^2 - 6x + m$不能为$0$。
考虑二次函数$x^2 - 6x + m$的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a = 1, b = -6, c = m$。
要使分母不为$0$，则二次函数无实数根，即$\Delta ＜ 0$。
代入$a, b, c$的值，得到：
$\Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × m ＜ 0$，
$36 - 4m ＜ 0$，
$m ＞ 9$。
分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个
思考 小学学习的约分、通分规则与分式的基本性质是否有相同点?
填空 $\frac{4a}{6b}= \frac{2a}{(
不为0
的整式,分式的值不变.思考 小学学习的约分、通分规则与分式的基本性质是否有相同点?
填空 $\frac{4a}{6b}= \frac{2a}{(
3b
)};\frac{3m}{2n}= \frac{(6m²
)}{4mn}$.答案
不为0；相同点是都要求乘（或除以）同一个不为0的数（或整式）；3b；6m²
解析
不为0；相同点是都要求乘（或除以）同一个不为0的数（或整式）；3b；6m²
