变式训练 大足区举行七年级数学知识抢答赛,共 $ 12$ 个学校的代表队参加比赛,比赛采取双循环赛制,每队共比赛 $ 22$ 场,胜一场得 $ 2$ 分,负一场得 $ 1$ 分。最终甲学校以总分 $ 40$ 分获得第一名,那么甲学校的胜场数为。

$18$

设甲学校胜场数为 $x$ 场，则负场数为 $22 - x$ 场。
根据题意，胜场得分 $2x$ 分，负场得分 $1 × (22 - x)$ 分，总分为 $40$ 分。
列方程：
$2x + (22 - x) = 40$
化简得：
$x + 22 = 40$
解得：
$x = 18$

例 2 为加强学生的安全意识,某学校开展了“防诈骗、防性侵、防溺水、防校园欺凌”知识竞赛,共设有 $ 20$ 道选择题,各题分值相同,每题必答。下表为 $ 5$ 位参赛者的得分情况,请根据表中信息回答问题：
|参赛者|答对题数|答错题数|得分|
|A|20|0|100|
|B|19|1|94|
|C|18|2|88|
|D|14|6|64|
|E|10|10|40|

(1)这次竞赛中答对一题得分,答错一题扣分；
(2)参赛者 $ F$ 得分为 $ 70$ 分,他答错了几道题？

(3)参赛者 $ G$ 说他的得分为 $ 85$ 分,你认为可能吗？请说明理由。

(1)设答对一题得$x$分，答错一题扣$y$分。
由A参赛者：$20x = 100$，解得$x = 5$。
由B参赛者：$19×5 - y = 94$，即$95 - y = 94$，解得$y = 1$。
故答案为：5，1。
(2)设参赛者F答错了$m$道题，则答对$(20 - m)$道题。
依题意：$5(20 - m) - 1×m = 70$
$100 - 5m - m = 70$
$-6m = -30$
$m = 5$
答：他答错了5道题。
(3)不可能。
设参赛者G答错了$n$道题，则答对$(20 - n)$道题。
依题意：$5(20 - n) - n = 85$
$100 - 6n = 85$
$-6n = -15$
$n = 2.5$
$n$为整数，不符合题意，故不可能。

变式训练 某学校举办了一场心理知识竞赛,竞赛共 $ 20$ 道题,评分规则为：每一题答对得 $ 5$ 分,答错或不答扣 $ 2$ 分。七年级代表队最终得分为 $ 86$ 分,则七年级代表队答对了多少道题？

解：设七年级代表队答对了$x$道题，则答错或不答$(20 - x)$道题。
根据题意，得$5x - 2(20 - x) = 86$
去括号，得$5x - 40 + 2x = 86$
合并同类项，得$7x - 40 = 86$
移项，得$7x = 86 + 40$
计算，得$7x = 126$
系数化为$1$，得$x = 18$
答：七年级代表队答对了$18$道题。

例 3 如图,一个长方形恰好被分成 $ 6$ 个正方形,已知最小的正方形 $ A$ 的边长为 $ a$,则这个长方形的周长为。(结果用含 $ a$ 的代数式表示)

$48a$

设最小正方形A的边长为$a$，设与A相邻的正方形E和F的边长为$x$。则正方形D的边长为$x + a$，正方形C的边长为$x + 2a$，正方形B的边长为$x + 3a$。
长方形的长：上方由B和C组成，即$(x + 3a) + (x + 2a) = 2x + 5a$；下方由F、E和D组成，即$x + x + (x + a) = 3x + a$。
由长方形长相等得：$2x + 5a = 3x + a$，解得$x = 4a$。
长方形的长为$2×4a + 5a = 13a$，宽为$2×4a + 3a = 11a$。
周长为$2×(13a + 11a) = 48a$。

1. 爸爸和儿子共下了 $ 10$ 盘棋,没有平局,爸爸赢一盘记 $ 1$ 分,儿子赢一盘记 $ 2$ 分,最终爸爸的得分比儿子的得分多 $ 1$ 分,则爸爸赢了()
A.$ 9$ 盘
B.$ 8$ 盘
C.$ 7$ 盘
D.$ 6$ 盘

C

设爸爸赢$x$盘，则儿子赢$(10 - x)$盘，
爸爸得分为$x × 1 = x$分，
儿子得分为$(10 - x) × 2 = 20 - 2x$分。
根据题意，爸爸的得分比儿子多$1$分，
即：$x - (20 - 2x) = 1$，
化简得：$3x - 20 = 1$，
解得：$x = 7$。

2. 若干球队参加足球联赛,每两队之间都进行两场比赛,共要比赛 $ 90$ 场。设共有 $ x$ 个队参加比赛,则下列方程中符合题意的是()
A.$ \dfrac{1}{2}x(x - 1) = 90$
B.$ x(x - 1) = 90$
C.$ \dfrac{1}{2}x(x + 1) = 90$
D.$ x(x + 1) = 90$

B

设有$x$个队参加比赛，每两队之间进行两场比赛，因此每对组合比赛2场。总比赛场数可以表示为$x(x - 1)$，因为每两个队之间有两场比赛，所以方程为$x(x - 1) = 90$。