8. 下列说法不正确的是()
A.所有矩形都是相似的
B.若线段$a= 5\ cm,b= 2\ cm$,则$a:b= 5:2$
C.若线段$AB= \sqrt{5}\ cm$,C是线段AB的黄金分割点,且$AC＞BC$,则$AC= \frac{5-\sqrt{5}}{2}\ cm$
D.四条长度依次为1 cm,2 cm,2 cm,4 cm的线段是成比例线段

A

A. 矩形的所有角都是$90^\circ$，但不同矩形的对应边不一定成比例。因此，不是所有矩形都是相似的。所以A选项是不正确的。
B. 对于线段$a = 5\ cm$和$b = 2\ cm$，其比值为$a:b = 5:2$，与选项描述一致，所以B选项是正确的。
C. 若线段$AB = \sqrt{5}\ cm$，且C是线段AB的黄金分割点，黄金分割比例为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，当$AC＞BC$时，有$AC = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × \sqrt{5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}（cm）$，与选项描述一致，所以C选项是正确的。
D. 对于四条长度依次为$1\ cm, 2\ cm, 2\ cm, 4\ cm$的线段，检查是否成比例，即检查外项之积是否等于内项之积：$1 × 4 = 2 × 2$，确实相等，所以这四条线段是成比例的。D选项是正确的。

9. 如图,取一张长为a,宽为b的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长方形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则原长方形纸片的边a,b应满足的条件是()

A.$a= \sqrt{2}b$
B.$a= 2b$
C.$a= 2\sqrt{2}b$
D.$a= 4b$

B

原长方形长为$a$，宽为$b$。对折两次后，小长方形的长为$b$，宽为$\frac{a}{4}$。
因为小长方形与原长方形相似，所以对应边成比例，即$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{4}}$。
整理得$a \cdot \frac{a}{4}=b^2$，$\frac{a^2}{4}=b^2$，$a^2 = 4b^2$，$a = 2b$（$a,b$为正数）。
B

10. 如图,连结正五边形的各条对角线AD,AC,BE,BD,CE,给出下列结论:①$∠AME= 108^{\circ}$.②五边形$PFQNM\backsim$五边形ABCDE.③$AN^{2}= AM· AD$.其中正确的是()

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

D

①在正五边形ABCDE中，每个内角为$\frac{(5 - 2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$，$AB = BC = CD = DE = EA$，$\angle BAE=\angle ABC=\angle BCD=\angle CDE=\angle DEA = 108^{\circ}$。
$\triangle AED$中，$AE = DE$，$\angle EAD=\frac{180^{\circ}-\angle DEA}{2}=\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}$，同理$\angle BAC = 36^{\circ}$，则$\angle CAM=\angle BAE-\angle BAC-\angle EAD=108^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$。
$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$\angle BCA=\frac{180^{\circ}-\angle ABC}{2}=36^{\circ}$，即$\angle ACM = 36^{\circ}$。
$\triangle AMC$中，$\angle AMC=180^{\circ}-\angle CAM-\angle ACM=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle AME=\angle AMC = 108^{\circ}$，①正确。
②正五边形对角线形成的内部小五边形PFQNM，各内角均为108°，各边对应成比例（正五边形对称性及相似三角形性质可证），故五边形PFQNM∽五边形ABCDE，②正确。
③$\angle AMD=\angle AME = 108^{\circ}$，$\angle ADM=\angle EAD = 36^{\circ}$，$\triangle AMD$中，$\angle MAD = 36^{\circ}$，$\angle AMD = 108^{\circ}$，$\angle ADM = 36^{\circ}$。
$\triangle ANM$中，$\angle NAM = 36^{\circ}$，$\angle ANM=\angle DNE$，$\angle DNE = 180^{\circ}-\angle NDE-\angle NED$，$\angle NDE=\angle CDB = 36^{\circ}$，$\angle NED=\angle AEC = 36^{\circ}$，则$\angle ANM = 108^{\circ}$，故$\triangle ANM\sim\triangle AMD$（AA），$\frac{AN}{AM}=\frac{AM}{AD}$，即$AN^{2}=AM\cdot AD$，③正确。
正确的是①②③，答案选D。

11. 矩形的两边长分别为x和6($x＜6$),把它按如图方式分割成三个全等的小矩形,每一个小矩形与原矩形均相似,则$x=$.

$2\sqrt{3}$

由题意，原矩形的长为6，宽为$x$，分割成三个全等的小矩形，每个小矩形的长为$x$，宽为$\frac{6}{3}=2$。
因为小矩形与原矩形相似，且原矩形长为6，宽为$x$，小矩形长为$x$，宽为2，所以$\frac{6}{x}=\frac{x}{2}$。
解得$x^{2}=12$，$x=2\sqrt{3}$（$x=-2\sqrt{3}$舍去）。
$2\sqrt{3}$

12. 如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上的一点,$BE= BC$,过点E作$EF\perp AB$,$EG\perp BC$,垂足分别为F,G,则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

设正方形ABCD的边长为$a$，则$BC = a$。
因为四边形ABCD是正方形，所以对角线$BD=\sqrt{BC^2 + CD^2}=\sqrt{a^2 + a^2}=\sqrt{2}a$。
已知$BE = BC = a$，则$DE=BD - BE=\sqrt{2}a - a=(\sqrt{2}-1)a$。
由于$EF \perp AB$，$EG \perp BC$，且$\angle ABC = 90^\circ$，所以四边形FBGE是矩形。又因为$\angle FBE = 45^\circ$，所以$\triangle BFE$是等腰直角三角形，故$EF = BF$，因此四边形FBGE是正方形，设其边长为$x$，即$BF = FG = GE = EB' = x$（这里$B'$为EF与AB的垂足F，表述为BF=x）。
在正方形FBGE中，对角线$BE=\sqrt{BF^2 + FG^2}=\sqrt{x^2 + x^2}=\sqrt{2}x$。
因为$BE = a$，所以$\sqrt{2}x = a$，解得$x=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为$\frac{x}{a}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$