登录
1. 某城市广场中有一块圆形空地,市政府拟在此区域内修建一个菱形花坛(如图),花坛中心 A 与空地圆心重合,点 A 到菱形的顶点 B 的距离为5 m,点 B 到圆周上点 C 的距离为4 m,则花坛的边长是 (
A.8 m
B.8.5 m
C.9 m
D.$\sqrt{56}$ m
C
)A.8 m
B.8.5 m
C.9 m
D.$\sqrt{56}$ m
答案
C
解析
由题意知，圆形空地圆心与菱形花坛中心均为点$A$，点$B$为菱形顶点，则$AB$为菱形对角线的一半，且$AB = 5\ m$。
点$C$在圆周上，$B$到$C$的距离为$4\ m$，则圆的半径$AC=AB + BC=5 + 4=9\ m$。
因为菱形的顶点在圆周上（由图可知），所以菱形的顶点到中心$A$的距离等于圆的半径，即菱形的边长等于圆的半径$AC$。
故花坛的边长是$9\ m$。
C
点$C$在圆周上，$B$到$C$的距离为$4\ m$，则圆的半径$AC=AB + BC=5 + 4=9\ m$。
因为菱形的顶点在圆周上（由图可知），所以菱形的顶点到中心$A$的距离等于圆的半径，即菱形的边长等于圆的半径$AC$。
故花坛的边长是$9\ m$。
C
2. 如图,在$\odot O$中,点 A,O,D 和点 B,O,C 分别在一条直线上,图中共有
5
条弦,它们分别是AB、BC、CD、DE、EA
.答案
5；AB、BC、CD、DE、EA
解析
根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。图中圆上的点有A、B、E、D、C。连接这些点的线段中，是弦的有：AB、BC、CD、DE、EA。共5条。
3. 如图,AB 是$\odot O$的直径,CD 是$\odot O$的弦,AB,CD 的延长线交于点 E,已知$AB= 2DE$,若$\triangle COD$为直角三角形,则$\angle E$的大小为
$22.5^{\circ}$
.答案
1. 首先，根据圆的性质：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$AB = 2OD$，又已知$AB = 2DE$，则$OD=DE$。
所以$\angle DOE=\angle E$（等边对等角）。
因为$\triangle COD$为直角三角形，且$OC = OD$（圆的半径相等），所以$\triangle COD$是等腰直角三角形。
2. 然后，根据等腰直角三角形的性质：
对于等腰直角$\triangle COD$，$\angle ODC = 45^{\circ}$。
又因为$\angle ODC$是$\triangle ODE$的外角（三角形外角的性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和）。
根据三角形外角性质$\angle ODC=\angle DOE + \angle E$。
设$\angle E=x$，由于$\angle DOE=\angle E$，则$\angle ODC = 2x$。
3. 最后，求解$\angle E$：
已知$\angle ODC = 45^{\circ}$，即$2x = 45^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$。
故$\angle E$的大小为$22.5^{\circ}$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$AB = 2OD$，又已知$AB = 2DE$，则$OD=DE$。
所以$\angle DOE=\angle E$（等边对等角）。
因为$\triangle COD$为直角三角形，且$OC = OD$（圆的半径相等），所以$\triangle COD$是等腰直角三角形。
2. 然后，根据等腰直角三角形的性质：
对于等腰直角$\triangle COD$，$\angle ODC = 45^{\circ}$。
又因为$\angle ODC$是$\triangle ODE$的外角（三角形外角的性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和）。
根据三角形外角性质$\angle ODC=\angle DOE + \angle E$。
设$\angle E=x$，由于$\angle DOE=\angle E$，则$\angle ODC = 2x$。
3. 最后，求解$\angle E$：
已知$\angle ODC = 45^{\circ}$，即$2x = 45^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$。
故$\angle E$的大小为$22.5^{\circ}$。
4. 如图,AB 是$\odot O$的弦,点 C,D 在 AB 上,且$AC= BD$,则$\triangle OCD$的形状是
等腰三角形
.答案
等腰三角形。
解析
连接 $OA$，$OB$。
因为 $OA=OB$，所以 $\angle OAC=\angle OBD$。
在 $\triangle OAC$ 和 $\triangle OBD$ 中，
$\begin{cases}OA=OB \\\angle OAC=\angle OBD \\AC=BD\end{cases}$
所以 $\triangle OAC \cong \triangle OBD(SAS)$，则 $OC=OD$。
因此，$\triangle OCD$ 是等腰三角形。
等腰三角形
因为 $OA=OB$，所以 $\angle OAC=\angle OBD$。
在 $\triangle OAC$ 和 $\triangle OBD$ 中，
$\begin{cases}OA=OB \\\angle OAC=\angle OBD \\AC=BD\end{cases}$
所以 $\triangle OAC \cong \triangle OBD(SAS)$，则 $OC=OD$。
因此，$\triangle OCD$ 是等腰三角形。
等腰三角形
5. 如图,CD 是$\odot O$的直径,点 A 在 DC 的延长线上,$\angle A= 20^\circ$,AE 交$\odot O$于点 B,且$AB= OC$,连接 OB. 求：
(1)$\angle AOB$的大小；
(2)$\angle DOE$的大小.
(1)$\angle AOB$的大小；
(2)$\angle DOE$的大小.
答案
(1) 因为$AB = OC$，$OB = OC$，所以$AB = OB$。
所以$\angle AOB = \angle A= 20^\circ$。
(2) 因为$\angle OBE$是$\triangle ABO$的外角。
所以$\angle OBE = \angle A + \angle AOB= 40^\circ$。
因为$OB = OE$，所以$\angle E = \angle OBE = 40^\circ$。
所以$\angle EOD = \angle A + \angle E= 40^\circ + 20^\circ= 60^\circ$。
所以$\angle AOB = \angle A= 20^\circ$。
(2) 因为$\angle OBE$是$\triangle ABO$的外角。
所以$\angle OBE = \angle A + \angle AOB= 40^\circ$。
因为$OB = OE$，所以$\angle E = \angle OBE = 40^\circ$。
所以$\angle EOD = \angle A + \angle E= 40^\circ + 20^\circ= 60^\circ$。
6. 如图,AB,CD 为$\odot O$中两条直径,点 E,F 在直径 CD 上,且$CE= DF$. 求证：$AF= BE$.
答案
证明：
∵AB，CD为⊙O的直径，
∴OA=OB，OC=OD。
∵CE=DF，
∴OC-CE=OD-DF，即OE=OF。
在△AOF和△BOE中，
OA=OB，
∠AOF=∠BOE（对顶角相等），
OF=OE，
∴△AOF≌△BOE（SAS）。
∴AF=BE。
∵AB，CD为⊙O的直径，
∴OA=OB，OC=OD。
∵CE=DF，
∴OC-CE=OD-DF，即OE=OF。
在△AOF和△BOE中，
OA=OB，
∠AOF=∠BOE（对顶角相等），
OF=OE，
∴△AOF≌△BOE（SAS）。
∴AF=BE。
