8. 如图,已知抛物线$y= -\frac{1}{2}x^{2}+bx+\frac{3}{2}(b$为常数)的对称轴是直线$x= 1$,与$x轴相交于A,B$两点(点$A在点B$的左侧),与$y轴相交于点C$.
(1)求该抛物线的函数表达式及点$B$的坐标.
(2)抛物线上一点$M在直线BC$上方,其横坐标为$m$,过点$M作MD⊥x$轴,垂足为$D$,交线段$BC于点E$.
① 若$ME= 2DE$,求点$M$的坐标;
② 连接$MC,MB$,求四边形$OCMB的面积S的最大值及此时点M$的坐标.
(1)求该抛物线的函数表达式及点$B$的坐标.
(2)抛物线上一点$M在直线BC$上方,其横坐标为$m$,过点$M作MD⊥x$轴,垂足为$D$,交线段$BC于点E$.
① 若$ME= 2DE$,求点$M$的坐标;
② 连接$MC,MB$,求四边形$OCMB的面积S的最大值及此时点M$的坐标.
答案
(1) 由抛物线对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$,其中$a=-\frac{1}{2}$,得$-\frac{b}{2×(-\frac{1}{2})}=1$,解得$b=1$,故抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+x+\frac{3}{2}$。令$y=0$,解方程$-\frac{1}{2}x^2+x+\frac{3}{2}=0$,得$x_1=-1$,$x_2=3$,故点$B$坐标为$(3,0)$。
(2) 点$C(0,\frac{3}{2})$,直线$BC$解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。点$M(m,-\frac{1}{2}m^2+m+\frac{3}{2})$,点$E(m,-\frac{1}{2}m+\frac{3}{2})$。
① $ME=-\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m$,$DE=-\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$。由$ME=2DE$得$-\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m=2(-\frac{1}{2}m+\frac{3}{2})$,解得$m=2$($m=3$舍去),故点$M(2,\frac{3}{2})$。
② $S=-\frac{3}{4}m^2+\frac{9}{4}m+\frac{9}{4}$,对称轴$m=\frac{3}{2}$。当$m=\frac{3}{2}$时,$S_{max}=\frac{63}{16}$,此时点$M(\frac{3}{2},\frac{15}{8})$。
(2) 点$C(0,\frac{3}{2})$,直线$BC$解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。点$M(m,-\frac{1}{2}m^2+m+\frac{3}{2})$,点$E(m,-\frac{1}{2}m+\frac{3}{2})$。
① $ME=-\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m$,$DE=-\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$。由$ME=2DE$得$-\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m=2(-\frac{1}{2}m+\frac{3}{2})$,解得$m=2$($m=3$舍去),故点$M(2,\frac{3}{2})$。
② $S=-\frac{3}{4}m^2+\frac{9}{4}m+\frac{9}{4}$,对称轴$m=\frac{3}{2}$。当$m=\frac{3}{2}$时,$S_{max}=\frac{63}{16}$,此时点$M(\frac{3}{2},\frac{15}{8})$。
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