1. 如图,已知点A,B,C为⊙O上的点,若⊙O的半径为4,∠C= 25°,则劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长是()
A.3π
B.$\frac{10}{9}π$
C.π
D.$\frac{2}{3}π$

B

连接OA，OB。
∵∠C=25°，
∴∠AOB=2∠C=50°。
∵⊙O的半径为4，
∴劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{50\pi×4}{180}=\frac{10}{9}\pi$。
B

2. 如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在$\overset{\frown}{MN}$上,且不与点M,N重合.若$\overset{\frown}{MN}$的长是4π,则AB的长为()
A.2
B.8
C.4π
D.不能确定

B

连接OP，设扇形OMN的半径为$r$，圆心角为$n^{\circ}$。
因为$\overset{\frown}{MN}$的长是$4\pi$，根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，可得$\frac{n\pi r}{180}=4\pi$，即$nr = 720$。
由于四边形PAOB是矩形，所以$AB = OP = r$，且$\angle AOB = 90^{\circ}$，即$n = 90$。
将$n = 90$代入$nr = 720$，得$90r=720$，解得$r = 8$，所以$AB = 8$。
B

3. 若圆弧的半径是3,圆弧所对的圆心角为90°,则弧长为.

$\frac{3\pi}{2}$

弧长公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$n = 90$，$r = 3$，则$l = \frac{90\pi × 3}{180} = \frac{3\pi}{2}$。
$\frac{3\pi}{2}$

4. 若一扇形的半径是4,弧长是2π,则此扇形的面积是.

4π

扇形面积公式为$S = \frac{1}{2}lr$，其中$l$为弧长，$r$为半径。已知$r = 4$，$l = 2\pi$，则$S=\frac{1}{2}×2\pi×4 = 4\pi$。
4π

5. 一个扇形的弧长为5π,圆心角为150°,则该扇形的半径为,面积是.

半径为6，面积是15π

设扇形半径为$r$，弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$l = 5\pi$，$n = 150^\circ$。
$5\pi = \frac{150\pi r}{180}$
$5\pi = \frac{5\pi r}{6}$
$r = 6$
面积公式$S = \frac{1}{2}lr$
$S = \frac{1}{2} × 5\pi × 6 = 15\pi$
半径为$6$，面积是$15\pi$

6. 如图,边长为4的正方形ABCD内接于⊙O,则$\overset{\frown}{AB}$的长是.(结果保留π)

√2π

连接AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴∠AOB=90°，AB=4，
在Rt△AOB中，OA=OB，OA²+OB²=AB²，
∴2OA²=4²=16，OA²=8，OA=2√2，
⊙O的半径R=OA=2√2，
$\overset{\frown}{AB}$的长=$\frac{nπR}{180}$=$\frac{90π×2\sqrt{2}}{180}$=$\sqrt{2}π$。
$\sqrt{2}π$

7. 如图,在△AOB中,OA= 2,OB= 5,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得△A'OB'.求:
(1)点B扫过的弧的长;
(2)线段AB扫过的面积.

(1) 点B绕点O顺时针旋转90°，扫过的弧是以O为圆心，OB为半径，圆心角为90°的弧。
弧长公式：$ l = \frac{n\pi r}{180} $，其中$ n = 90^\circ $，$ r = OB = 5 $。
$ l = \frac{90\pi × 5}{180} = \frac{5\pi}{2} $。
(2) 线段AB扫过的面积为扇形$ OB{B'} $与扇形$ OA{A'} $的面积差。
扇形面积公式：$ S = \frac{n\pi r^2}{360} $。
扇形$ OB{B'} $面积：$ \frac{90\pi × 5^2}{360} = \frac{25\pi}{4} $。
扇形$ OA{A'} $面积：$ \frac{90\pi × 2^2}{360} = \pi $。
扫过的面积：$ \frac{25\pi}{4} - \pi = \frac{21\pi}{4} $。
(1) $ \frac{5\pi}{2} $；(2) $ \frac{21\pi}{4} $