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8. 利用$ y= -x^{2} $的图像解答下列问题：
(1)在y轴左侧的图像上任取两点$ A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) $,且使$ 0＞x_{1}＞x_{2} $,试比较$ y_{1} 与 y_{2} $的大小：
(2)在y轴右侧的图像上任取两点$ C(x_{3},y_{3}),D(x_{4},y_{4}) $,且使$ x_{3}＞x_{4}＞0 $,试比较$ y_{3} 与 y_{4} $的大小：
(3)已知$ a＜-1 $,点$ (a-1,y_{5}),(a,y_{6}),(a+1,y_{7}) 都在函数 y= -x^{2} $的图像上,试比较$ y_{5},y_{6} 与 y_{7} $的大小：
(1)在y轴左侧的图像上任取两点$ A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) $,且使$ 0＞x_{1}＞x_{2} $,试比较$ y_{1} 与 y_{2} $的大小：
$y_1 ＞ y_2$
；(2)在y轴右侧的图像上任取两点$ C(x_{3},y_{3}),D(x_{4},y_{4}) $,且使$ x_{3}＞x_{4}＞0 $,试比较$ y_{3} 与 y_{4} $的大小：
$y_3 ＜ y_4$
；(3)已知$ a＜-1 $,点$ (a-1,y_{5}),(a,y_{6}),(a+1,y_{7}) 都在函数 y= -x^{2} $的图像上,试比较$ y_{5},y_{6} 与 y_{7} $的大小：
$y_5 ＜ y_6 ＜ y_7$
。答案
(1) 因为二次函数$y = -x^2$的图像开口向下，对称轴为$y$轴。在$y$轴左侧（$x ＜ 0$），$y$随$x$的增大而增大。已知$0 ＞ x_1 ＞ x_2$，即$x_1$、$x_2$在$y$轴左侧且$x_1 ＞ x_2$，所以$y_1 ＞ y_2$。
(2) 在$y$轴右侧（$x ＞ 0$），二次函数$y = -x^2$的$y$随$x$的增大而减小。已知$x_3 ＞ x_4 ＞ 0$，即$x_3$、$x_4$在$y$轴右侧且$x_3 ＞ x_4$，所以$y_3 ＜ y_4$。
(3) 因为$a ＜ -1$，所以$a - 1 ＜ a ＜ a + 1 ＜ 0$，即点$(a - 1, y_5)$、$(a, y_6)$、$(a + 1, y_7)$都在$y$轴左侧。又因为在$y$轴左侧$y$随$x$的增大而增大，且$a - 1 ＜ a ＜ a + 1$，所以$y_5 ＜ y_6 ＜ y_7$。
(1)$y_1 ＞ y_2$
(2)$y_3 ＜ y_4$
(3)$y_5 ＜ y_6 ＜ y_7$
(2) 在$y$轴右侧（$x ＞ 0$），二次函数$y = -x^2$的$y$随$x$的增大而减小。已知$x_3 ＞ x_4 ＞ 0$，即$x_3$、$x_4$在$y$轴右侧且$x_3 ＞ x_4$，所以$y_3 ＜ y_4$。
(3) 因为$a ＜ -1$，所以$a - 1 ＜ a ＜ a + 1 ＜ 0$，即点$(a - 1, y_5)$、$(a, y_6)$、$(a + 1, y_7)$都在$y$轴左侧。又因为在$y$轴左侧$y$随$x$的增大而增大，且$a - 1 ＜ a ＜ a + 1$，所以$y_5 ＜ y_6 ＜ y_7$。
(1)$y_1 ＞ y_2$
(2)$y_3 ＜ y_4$
(3)$y_5 ＜ y_6 ＜ y_7$
9. 已知$ y= (k-3)x^{k^{2}-k-4} $是二次函数,且当x＜0时,y随x的增大而增大。
(1)求k的值；
(2)若平行于x轴的直线与该二次函数的图像交于A,B两点,且AB= 6,求点A,B的坐标。
(1)求k的值；
(2)若平行于x轴的直线与该二次函数的图像交于A,B两点,且AB= 6,求点A,B的坐标。
答案
(1)$k=-2$；(2)$A(-3,-45)$，$B(3,-45)$
解析
(1)因为$y=(k - 3)x^{k^2 - k - 4}$是二次函数，所以$\begin{cases}k^2 - k - 4 = 2 \\ k - 3 \neq 0\end{cases}$，解得$k^2 - k - 6 = 0$，即$(k - 3)(k + 2)=0$，$k=3$或$k=-2$，又$k\neq3$，所以$k=-2$。此时二次函数为$y=(-2 - 3)x^{(-2)^2 - (-2) - 4}=-5x^{2}$，因为当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大，符合题意，故$k=-2$。
(2)由
(1)知二次函数为$y=-5x^{2}$，设平行于$x$轴的直线为$y=m$，联立$\begin{cases}y=-5x^{2} \\ y=m\end{cases}$，得$-5x^{2}=m$，$x^{2}=-\dfrac{m}{5}$，$x=\pm\sqrt{-\dfrac{m}{5}}$，则$A\left(-\sqrt{-\dfrac{m}{5}},m\right)$，$B\left(\sqrt{-\dfrac{m}{5}},m\right)$。因为$AB=6$，所以$2\sqrt{-\dfrac{m}{5}}=6$，$\sqrt{-\dfrac{m}{5}}=3$，$-\dfrac{m}{5}=9$，$m=-45$，则$x=\pm3$，所以$A(-3,-45)$，$B(3,-45)$。
10. 如图,直线AB经过A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数$ y= ax^{2} $的图像在第一象限内相交于点P,连接OP,已知△AOP的面积为$ \frac{9}{2} $,求a的值。
答案
1. 直线$AB$经过点$A(4,0)$和$B(0,4)$，其方程可由两点式求出为$y = -x + 4$。
2. 设点$P$的坐标为$(m,n)$，$m＞0$，$n＞0$。由于点$P$在直线$AB$上，因此有$n = -m + 4$。
3. 已知$\bigtriangleup AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，则$\frac{1}{2} × 4 × n = \frac{9}{2}$，解得$n = \frac{9}{4}$。
4. 将$n = \frac{9}{4}$代入$n = -m + 4$，解得$m = \frac{7}{4}$。即$P$点坐标为$(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。
5. 由于点$P$也在二次函数$y = ax^2$的图像上，将点$P$的坐标代入得$\frac{9}{4} = a ×(\frac{7}{4})^2$，解得$a = \frac{36}{49}$。
所以$a =\frac{36}{49}$。
2. 设点$P$的坐标为$(m,n)$，$m＞0$，$n＞0$。由于点$P$在直线$AB$上，因此有$n = -m + 4$。
3. 已知$\bigtriangleup AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，则$\frac{1}{2} × 4 × n = \frac{9}{2}$，解得$n = \frac{9}{4}$。
4. 将$n = \frac{9}{4}$代入$n = -m + 4$，解得$m = \frac{7}{4}$。即$P$点坐标为$(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。
5. 由于点$P$也在二次函数$y = ax^2$的图像上，将点$P$的坐标代入得$\frac{9}{4} = a ×(\frac{7}{4})^2$，解得$a = \frac{36}{49}$。
所以$a =\frac{36}{49}$。
