登录
8. 数学家华罗庚曾有一首脍炙人口的数形结合诗：“数形本是相依偎,焉能分作两边飞。数无形时少直观,形缺数时难入微。”用数形结合的思想判断方程$|x^{2}-4x|-\left|\frac{3}{x}\right|=0$的根的情况是(
A.有一个实数根
B.有两个实数根
C.有三个实数根
D.有四个实数根
D
)A.有一个实数根
B.有两个实数根
C.有三个实数根
D.有四个实数根
答案
D
解析
方程$|x^{2}-4x| - \left|\frac{3}{x}\right| = 0$可化为$|x^{2}-4x| = \left|\frac{3}{x}\right|$。
考虑函数$y = |x^{2}-4x|$和$y = \left|\frac{3}{x}\right|$的图像交点情况：
1. 当$x ＞ 0$时，$y = \left|\frac{3}{x}\right| = \frac{3}{x}$。$y = |x^{2}-4x| = |x(x - 4)|$，分情况讨论：
$0 ＜ x ＜ 4$时，$y = -x^{2} + 4x$，与$y = \frac{3}{x}$联立得$-x^{2} + 4x = \frac{3}{x}$，即$-x^{3} + 4x^{2} - 3 = 0$，$x^{3} - 4x^{2} + 3 = 0$。令$f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3$，$f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$，$f(3) = 27 - 36 + 3 = -6$，$f(4) = 64 - 64 + 3 = 3$，由零点存在定理及图像可知，在$(0, 4)$内有两个交点。
$x \geq 4$时，$y = x^{2} - 4x$，与$y = \frac{3}{x}$联立得$x^{2} - 4x = \frac{3}{x}$，即$x^{3} - 4x^{2} - 3 = 0$。令$g(x) = x^{3} - 4x^{2} - 3$，$g(4) = 64 - 64 - 3 = -3$，$g(5) = 125 - 100 - 3 = 22$，在$[4, +\infty)$内有一个交点。
2. 当$x ＜ 0$时，$y = \left|\frac{3}{x}\right| = -\frac{3}{x}$，$y = |x^{2}-4x| = x^{2} - 4x$（$x ＜ 0$时$x^{2}-4x ＞ 0$），联立得$x^{2} - 4x = -\frac{3}{x}$，即$x^{3} - 4x^{2} + 3 = 0$。令$h(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3$，$h(-1) = -1 - 4 + 3 = -2$，$h(0) = 3$，在$(-\infty, 0)$内有一个交点。
综上，两函数图像共有四个交点，方程有四个实数根。
D
考虑函数$y = |x^{2}-4x|$和$y = \left|\frac{3}{x}\right|$的图像交点情况：
1. 当$x ＞ 0$时，$y = \left|\frac{3}{x}\right| = \frac{3}{x}$。$y = |x^{2}-4x| = |x(x - 4)|$，分情况讨论：
$0 ＜ x ＜ 4$时，$y = -x^{2} + 4x$，与$y = \frac{3}{x}$联立得$-x^{2} + 4x = \frac{3}{x}$，即$-x^{3} + 4x^{2} - 3 = 0$，$x^{3} - 4x^{2} + 3 = 0$。令$f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3$，$f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$，$f(3) = 27 - 36 + 3 = -6$，$f(4) = 64 - 64 + 3 = 3$，由零点存在定理及图像可知，在$(0, 4)$内有两个交点。
$x \geq 4$时，$y = x^{2} - 4x$，与$y = \frac{3}{x}$联立得$x^{2} - 4x = \frac{3}{x}$，即$x^{3} - 4x^{2} - 3 = 0$。令$g(x) = x^{3} - 4x^{2} - 3$，$g(4) = 64 - 64 - 3 = -3$，$g(5) = 125 - 100 - 3 = 22$，在$[4, +\infty)$内有一个交点。
2. 当$x ＜ 0$时，$y = \left|\frac{3}{x}\right| = -\frac{3}{x}$，$y = |x^{2}-4x| = x^{2} - 4x$（$x ＜ 0$时$x^{2}-4x ＞ 0$），联立得$x^{2} - 4x = -\frac{3}{x}$，即$x^{3} - 4x^{2} + 3 = 0$。令$h(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3$，$h(-1) = -1 - 4 + 3 = -2$，$h(0) = 3$，在$(-\infty, 0)$内有一个交点。
综上，两函数图像共有四个交点，方程有四个实数根。
D
9. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“友好方程”。如果关于x的一元二次方程$x^{2}-2x= 0与x^{2}+3x+m-1= 0$为“友好方程”,那么m的值为
1或-9
。答案
本题应填$1$或$-9$，由于为填空题形式，没有对应选项，此处留空。
解析
解方程$x^{2}-2x=0$，得$x(x - 2)=0$，$x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
情况1：将$x=0$代入$x^{2}+3x+m - 1=0$，得$0 + 0 + m - 1=0$，解得$m=1$。此时方程为$x^{2}+3x=0$，根为$x_{1}=0$，$x_{2}=-3$，两方程有且只有一个相同实数根$0$，符合题意。
情况2：将$x=2$代入$x^{2}+3x+m - 1=0$，得$4 + 6 + m - 1=0$，解得$m=-9$。此时方程为$x^{2}+3x - 10=0$，根为$x_{1}=2$，$x_{2}=-5$，两方程有且只有一个相同实数根$2$，符合题意。
$m=1$或$m=-9$
情况1：将$x=0$代入$x^{2}+3x+m - 1=0$，得$0 + 0 + m - 1=0$，解得$m=1$。此时方程为$x^{2}+3x=0$，根为$x_{1}=0$，$x_{2}=-3$，两方程有且只有一个相同实数根$0$，符合题意。
情况2：将$x=2$代入$x^{2}+3x+m - 1=0$，得$4 + 6 + m - 1=0$，解得$m=-9$。此时方程为$x^{2}+3x - 10=0$，根为$x_{1}=2$，$x_{2}=-5$，两方程有且只有一个相同实数根$2$，符合题意。
$m=1$或$m=-9$
10. 已知a,b,c是△ABC的三边长,且关于x的方程$(a+b)x^{2}-2cx+a-b= 0$有两个相等的实数根。请你判断△ABC的形状。
答案
$\because$方程$(a+b)x^{2}-2cx+a-b= 0$有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=b^{2}-4ac=(-2c)^{2}-4(a+b)(a-b)=4c^{2}-4a^{2}+4b^{2}=0$，
即$c^{2}-a^{2}+b^{2}=0$，
即$c^{2}+b^{2}=a^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle A=90^{\circ}$。
$\therefore \Delta=b^{2}-4ac=(-2c)^{2}-4(a+b)(a-b)=4c^{2}-4a^{2}+4b^{2}=0$，
即$c^{2}-a^{2}+b^{2}=0$，
即$c^{2}+b^{2}=a^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle A=90^{\circ}$。
11. 嘉嘉准备完成题目。
化简：$(3x^{2}+□x)◇(10x+3x^{2}-15)$。
她发现“□”内的系数与“◇”内的运算符号印刷不清楚,淇淇告诉嘉嘉“◇”是＋,－中的某一个。
(1)若“□”内为2,“◇”内为＋,请化简原式。
(2)在(1)的情况下,是否存在实数x,使原式的值为－45？如果存在,求出x的值；如果不存在,请说明理由。
(3)若不论x取何实数,原式的值都是一个固定的常数,请直接写出原题中“□”内的数、“◇”内的运算符号以及原式的值。
化简：$(3x^{2}+□x)◇(10x+3x^{2}-15)$。
她发现“□”内的系数与“◇”内的运算符号印刷不清楚,淇淇告诉嘉嘉“◇”是＋,－中的某一个。
(1)若“□”内为2,“◇”内为＋,请化简原式。
(2)在(1)的情况下,是否存在实数x,使原式的值为－45？如果存在,求出x的值；如果不存在,请说明理由。
(3)若不论x取何实数,原式的值都是一个固定的常数,请直接写出原题中“□”内的数、“◇”内的运算符号以及原式的值。
答案
(1) 原式=$(3x^{2}+2x)+(10x+3x^{2}-15)$
$=3x^{2}+2x+10x+3x^{2}-15$
$=6x^{2}+12x-15$
(2) 令$6x^{2}+12x-15=-45$
$6x^{2}+12x+30=0$
$x^{2}+2x+5=0$
$\Delta=2^{2}-4×1×5=4-20=-16＜0$
∴方程无实数根，不存在实数$x$
(3) “□”内的数为10，“◇”内的运算符号为$-$，原式的值为15
$=3x^{2}+2x+10x+3x^{2}-15$
$=6x^{2}+12x-15$
(2) 令$6x^{2}+12x-15=-45$
$6x^{2}+12x+30=0$
$x^{2}+2x+5=0$
$\Delta=2^{2}-4×1×5=4-20=-16＜0$
∴方程无实数根，不存在实数$x$
(3) “□”内的数为10，“◇”内的运算符号为$-$，原式的值为15
