7.定滑轮的装置图如图所示,该定滑轮的半径$r = 6\ cm$.定滑轮顺时针旋转了$120^\circ$,物体上升的高度为$cm$.(结果保留$\pi$)

【解析】：本题主要考查了弧长公式。
由于定滑轮的旋转，物体上升的高度实际上等于滑轮边缘上某一点旋转所经过的弧长。
弧长公式为：$l = \frac{n\pi r}{180}$，
其中，$l$ 是弧长，$n$ 是旋转的角度，$r$ 是半径。
根据题目，定滑轮的半径 $r = 6\ cm$，旋转的角度 $n = 120^\circ$。
将这些值代入弧长公式，得到：
$l = \frac{120\pi × 6}{180} = 4\pi\ (cm)$。
因此，物体上升的高度为 $4\pi\ cm$。
【答案】：$4\pi$。

8.若$x_1,x_2是一元二次方程x^2 - 3x - 5 = 0$的两个实数根,则$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$的值是______.

解：∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两个实数根，
∴由韦达定理得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$。
$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 + 3x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$
将$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$代入得：$3^2 - (-5) = 9 + 5 = 14$。
故答案为14。

9.在二次函数$y = -x^2 + bx + c$中,若函数值y与自变量x的部分对应值如下表所示：
| x | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | -7 | -2 | 2 | m | n | -7 | -14 | -23 |
则m,n的大小关系为m n.(填“＞”“＜”或“＝”)

解：将$x=-2$，$y=-7$和$x=-1$，$y=-2$代入$y=-x^2 + bx + c$，得
$\begin{cases}-(-2)^2 + b×(-2) + c = -7 \\ -(-1)^2 + b×(-1) + c = -2\end{cases}$
化简得$\begin{cases}-4 - 2b + c = -7 \\ -1 - b + c = -2\end{cases}$
即$\begin{cases}-2b + c = -3 ① \\ -b + c = -1 ②\end{cases}$
② - ①得：$(-b + c) - (-2b + c) = -1 - (-3)$
$-b + c + 2b - c = 2$
$b = 2$
将$b=2$代入②得：$-2 + c = -1$，$c = 1$
所以二次函数解析式为$y=-x^2 + 2x + 1$
当$x=2$时，$m=-2^2 + 2×2 + 1=-4 + 4 + 1=1$
当$x=3$时，$n=-3^2 + 2×3 + 1=-9 + 6 + 1=-2$
因为$1 ＞ -2$，所以$m ＞ n$
＞

10.如图所示,在圆心角大于$180^\circ$的扇形AOB中,半径OA与OB的夹角为$120^\circ$,点A与点B的距离为$2\sqrt{3}$.若扇形AOB恰好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面半径为______.

【解析】：
本题主要考查了扇形的弧长公式和圆锥的底面半径与扇形弧长的关系，利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长这一性质来求解圆锥的底面半径。
已知扇形$AOB$中，$\angle AOB = 120^{\circ}$，点$A$与点$B$的距离为$2\sqrt{3}$，即弦$AB = 2\sqrt{3}$。
过点$O$作$OC\perp AB$于点$C$，根据垂径定理可知$AC = BC=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，且$\angle AOC=\frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOC$中，$\sin\angle AOC=\frac{AC}{OA}$，即$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{OA}$，因为$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{OA}$，解得$OA = 2$，也就是扇形的半径$R = 2$。
根据扇形的弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），已知$n = 120^{\circ}$，$R = 2$，可得扇形$AOB$的弧长$l=\frac{120\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$。
因为扇形$AOB$恰好是一个圆锥的侧面展开图，所以扇形的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为$r$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$，可得$2\pi r=\frac{4\pi}{3}$，两边同时除以$2\pi$，解得$r=\frac{2}{3}$。
【答案】：
$\frac{2}{3}$

11.下图①是某手机应用的图标,它是中心对称图形,图②是其示意图,其作图过程为：取正八边形ABCDEFGH的中心点O,延长OC,与AB的延长线交于点M,以OM为半径作$\odot O$,再延长正八边形其余七边得到$\odot O$的八等分点.若$AB = 1$,则$BM = $.

解：连接OA、OB，过点O作ON⊥AB于点N。
∵ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOB=360°/8=45°，OA=OB。
∵ON⊥AB，AB=1，∴AN=BN=1/2，∠AON=∠BON=22.5°。
在Rt△BON中，sin∠BON=BN/OB，cos∠BON=ON/OB，
即sin22.5°= (1/2)/OB，OB=1/(2sin22.5°)，ON=OBcos22.5°=cos22.5°/(2sin22.5°)。
延长OC交AB延长线于M，正八边形中心对称，∠COB=45°，
∴∠OBM=∠OBN+∠NBM=90°+22.5°=112.5°，∠BOM=∠COB=45°，
∴∠OMB=180°-∠OBM-∠BOM=22.5°。
在Rt△OMN中，∠OMN=22.5°，tan∠OMN=ON/MN，
MN=ON/tan22.5°= [cos22.5°/(2sin22.5°)] / tan22.5°= cos²22.5°/(2sin²22.5°)。
∵sin45°=2sin22.5°cos22.5°=√2/2，sin²22.5°=(1-cos45°)/2=(2-√2)/4，cos²22.5°=(1+cos45°)/2=(2+√2)/4，
∴MN= [(2+√2)/4] / [2×(2-√2)/4] = (2+√2)/[2(2-√2)] = (2+√2)(2+√2)/[2(4-2)] = (6+4√2)/4 = (3+2√2)/2。
BM=MN-BN= (3+2√2)/2 - 1/2 = (2+2√2)/2 = 1+√2。
答案：1+√2

12.已知$\odot O$的直径为4,AB是$\odot O$的弦,$\angle AOB = 120^\circ$,点P在$\odot O$上.若点P到直线AB的距离为1,则$\angle PAB$的大小为.

【解析】：本题主要考查圆的基本性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理。
连接$PO$并延长交$\odot O$于点$Q$，连接$PA$，$PB$，$OA$，$OB$。
因为$PQ$是$\odot O$的直径，
所以$\angle PBQ = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
已知$\odot O$的直径为$4$，
则半径$OA = OB = 2$。
因为$\angle AOB = 120^{\circ}$，$OA = OB$，
所以$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$（等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$）。
过点$O$作$OC \perp AB$于点$C$，
则$OC = \frac{1}{2}OA = 1$（$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半），$AC = BC$（等腰三角形三线合一）。
当点$P$在直线$OQ$与$\odot O$的交点且在$AB$下方时：
因为点$P$到直线$AB$的距离为$1$，即$P$到$AB$的垂线段长为$1$，而$OC = 1$，
所以点$P$与点$C$在同一条垂直于$AB$的直线上（$P$到$AB$距离和$OC$长度相等且都垂直于$AB$）。
此时$\angle PAB = \frac{1}{2}\angle OAB = 15^{\circ}$（因为$OP = OA$，等腰三角形三线合一，$\angle PAB$是$\angle OAB$的一半）。
当点$P$在直线$OQ$与$\odot O$的交点且在$AB$上方时：
过点$P$作$PD \perp AB$交$AB$的延长线于点$D$，
已知$PD = 1$，$OC = 1$，$OQ = 2$，
则$OP = 2$，$OD = OC + OP\cos30^{\circ}= \sqrt{3} + 1$（利用直角三角形中三角函数关系求出$OD$长度），
$AD = AC + CD = AC + OP\sin30^{\circ}= \sqrt{3} + 1$（求出$AD$长度）。
所以$AD = OD$，
则$\angle PAD = 45^{\circ}+\frac{1}{2}(120^{\circ}- 90^{\circ}) = 75^{\circ}$（先求出$\angle AOD$相关角度，再根据等腰三角形性质求出$\angle PAD$）。
综上，$\angle PAB$的大小为$15^{\circ}$或$75^{\circ}$。
【答案】：$15^{\circ}$或$75^{\circ}$。