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5. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银,不知人数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两,如果每人分九两,则还差半斤(注：明代时 1 斤= 16 两,故有“半斤八两”这个成语). 设总共有 $ x $ 两银子,根据题意,所列方程正确的是(
A.$ 7x - 4 = 9x - 8 $
B.$ \frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9} $
C.$ 7x + 4 = 9x + 8 $
D.$ \frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9} $
D
)A.$ 7x - 4 = 9x - 8 $
B.$ \frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9} $
C.$ 7x + 4 = 9x + 8 $
D.$ \frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9} $
答案
D
解析
设总共有$x$两银子，
当每人分7两，剩余4两，则总人数为$\frac{x-4}{7}$；
当每人分9两，缺少8两（半斤=8两），则总人数为$\frac{x+8}{9}$。
根据人数相等，列方程：$\frac{x-4}{7} = \frac{x+8}{9}$。
当每人分7两，剩余4两，则总人数为$\frac{x-4}{7}$；
当每人分9两，缺少8两（半斤=8两），则总人数为$\frac{x+8}{9}$。
根据人数相等，列方程：$\frac{x-4}{7} = \frac{x+8}{9}$。
6. 一列匀速行驶的列车在行进途中经过一个长 1800 米的隧道,已知列车从进入隧道到离开隧道共需 35 秒时间. 在这一过程中,隧道顶部一盏固定照明灯垂直照射列车达 5 秒时间,求该列车行驶的速度和列车的长度.
答案
设列车的速度为$x$ 米/秒，长度为$y$米。
当列车完全进入隧道，即车头进入隧道到车尾离开隧道，列车行驶的距离为隧道的长度加上列车的长度，即$1800 + y$米，所需时间为$35$秒，因此，有方程：
$1800 + y = 35x$，
当列车被隧道顶部的灯照射时，列车行驶的距离等于其自身的长度$y$米，所需时间为$5$秒，因此，有方程：
$y = 5x$，
将第二个方程代入第一个方程中，得：
$1800 + 5x = 35x$，
解得：
$x = 60$，
将$x = 60$代入$y = 5x$，得：
$y = 300$。
答：列车的速度为$60$米/秒，长度为$300$米。
当列车完全进入隧道，即车头进入隧道到车尾离开隧道，列车行驶的距离为隧道的长度加上列车的长度，即$1800 + y$米，所需时间为$35$秒，因此，有方程：
$1800 + y = 35x$，
当列车被隧道顶部的灯照射时，列车行驶的距离等于其自身的长度$y$米，所需时间为$5$秒，因此，有方程：
$y = 5x$，
将第二个方程代入第一个方程中，得：
$1800 + 5x = 35x$，
解得：
$x = 60$，
将$x = 60$代入$y = 5x$，得：
$y = 300$。
答：列车的速度为$60$米/秒，长度为$300$米。
★7. 如图,将一条长为 60cm 的卷尺铺平后折叠,使得卷尺自身的一部分重合(折叠后刻度 60 仍可见),然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀,此时卷尺分为了三段. 若这三段的长度由短到长的比为 $ 1:2:3 $,求折痕对应的刻度.
答案
情况一：折痕在20cm处
设三段长度分别为$k$、$2k$、$3k$，则$k+2k+3k=60$，解得$k=10$，三段长度为10cm、20cm、30cm。
设折痕对应刻度为$m$，折叠后重合部分为$m$到$2m$，剪断处为$p$。
由题意：
$2m-p=10$，$2(p-m)=20$，$60-p=30$
解得$p=30$，$m=20$。
情况二：折痕在25cm处
同理，三段长度为10cm、20cm、30cm。
设折痕对应刻度为$m$，剪断处为$p$。
由题意：
$2m-p=10$，$2(p-m)=30$，$60-p=20$
解得$p=40$，$m=25$；
或$2m-p=20$，$2(p-m)=10$，$60-p=30$
解得$p=30$，$m=25$。
结论：折痕对应的刻度为20或25。
20或25
设三段长度分别为$k$、$2k$、$3k$，则$k+2k+3k=60$，解得$k=10$，三段长度为10cm、20cm、30cm。
设折痕对应刻度为$m$，折叠后重合部分为$m$到$2m$，剪断处为$p$。
由题意：
$2m-p=10$，$2(p-m)=20$，$60-p=30$
解得$p=30$，$m=20$。
情况二：折痕在25cm处
同理，三段长度为10cm、20cm、30cm。
设折痕对应刻度为$m$，剪断处为$p$。
由题意：
$2m-p=10$，$2(p-m)=30$，$60-p=20$
解得$p=40$，$m=25$；
或$2m-p=20$，$2(p-m)=10$，$60-p=30$
解得$p=30$，$m=25$。
结论：折痕对应的刻度为20或25。
20或25
解析
设三段长度分别为$x\ cm$，$2x\ cm$，$3x\ cm$。
由题意得$x + 2x + 3x=60$，解得$x = 10$，三段长度为$10\ cm$，$20\ cm$，$30\ cm$。
情况1：设折痕在刻度$m$处，折叠后$60$与刻度$2m - 60$重合，重合部分剪后得两段$a$，中间段$60 - 2a$。
若$a = 10$，$60 - 2a=40$（不合）；$a = 20$，$60 - 2a=20$，三段为$20$，$20$，$20$（不合）；$a = 30$，$60 - 2a=0$（不合）。
情况2：折痕在刻度$n$处，折叠后$0$与刻度$2n$重合，重合部分剪后得两段$b$，中间段$60 - 2b$。
若$b = 10$，$60 - 2b=40$（不合）；$b = 20$，$60 - 2b=20$（不合）；$b = 30$，$60 - 2b=0$（不合）。
情况3：折痕在刻度$p$处，折叠后$60$在左侧，重合部分为$c$，三段为$c$，$60 - 2c$，$c$。
当$c = 10$，$60 - 2c=40$（$10,10,40$不合）；$c = 20$，$60 - 2c=20$（$20,20,20$不合）；$c = 30$，$60 - 2c=0$（不合）。
情况4：考虑三段为$10$，$20$，$30$，设剪痕分重合部分为$m$，$n$，则$m + n=60 - (m + n)$或$m=60 - 2n$等。
若$m = 10$，$n = 20$，则折痕为$60 - 10=50$或$20$；$m = 10$，$n = 30$，折痕为$60 - 10=50$或$30$；$m = 20$，$n = 30$，折痕为$60 - 20=40$或$30$。
经检验，折痕对应的刻度为$25\ cm$或$35\ cm$。
答案：25或35
由题意得$x + 2x + 3x=60$，解得$x = 10$，三段长度为$10\ cm$，$20\ cm$，$30\ cm$。
情况1：设折痕在刻度$m$处，折叠后$60$与刻度$2m - 60$重合，重合部分剪后得两段$a$，中间段$60 - 2a$。
若$a = 10$，$60 - 2a=40$（不合）；$a = 20$，$60 - 2a=20$，三段为$20$，$20$，$20$（不合）；$a = 30$，$60 - 2a=0$（不合）。
情况2：折痕在刻度$n$处，折叠后$0$与刻度$2n$重合，重合部分剪后得两段$b$，中间段$60 - 2b$。
若$b = 10$，$60 - 2b=40$（不合）；$b = 20$，$60 - 2b=20$（不合）；$b = 30$，$60 - 2b=0$（不合）。
情况3：折痕在刻度$p$处，折叠后$60$在左侧，重合部分为$c$，三段为$c$，$60 - 2c$，$c$。
当$c = 10$，$60 - 2c=40$（$10,10,40$不合）；$c = 20$，$60 - 2c=20$（$20,20,20$不合）；$c = 30$，$60 - 2c=0$（不合）。
情况4：考虑三段为$10$，$20$，$30$，设剪痕分重合部分为$m$，$n$，则$m + n=60 - (m + n)$或$m=60 - 2n$等。
若$m = 10$，$n = 20$，则折痕为$60 - 10=50$或$20$；$m = 10$，$n = 30$，折痕为$60 - 10=50$或$30$；$m = 20$，$n = 30$，折痕为$60 - 20=40$或$30$。
经检验，折痕对应的刻度为$25\ cm$或$35\ cm$。
答案：25或35
