7. 二次函数的一次项系数为 0，且当 $ x = - 1 $ 时，$ y = 2 $，写出一个符合条件的二次函数表达式.

$y = x^{2}+1$（答案不唯一）

设二次函数的一般形式为$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$）。
已知一次项系数$b = 0$，所以二次函数表达式为$y = ax^{2}+c$。
当$x = - 1$时，$y = 2$，代入可得$a×(-1)^{2}+c=2$，即$a + c = 2$。
不妨令$a = 1$，则$c=2 - 1=1$，此时二次函数表达式为$y=x^{2}+1$。

8. 若 $ y = ( m^{2} - 2m - 3 ) x^{2} + ( m - 1 ) x + m^{2} $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则 $ m $ 的取值范围是.

$m \neq - 1$ 且 $m \neq 3$（或写成 $m$ 取不等于 $-1$ 和 $3$ 的所有实数 ，根据题目要求，若需要填写为范围相关的形式，可理解为$m\in R$且$m\neq -1$且$m\neq 3$ ，这里按要求只填$m \neq - 1$ 且 $m \neq 3$ ）

要使 $y = (m^{2} - 2m - 3)x^{2} + (m - 1)x + m^{2}$ 是关于 $x$ 的二次函数，需要满足二次项系数 $m^{2} - 2m - 3 \neq 0$。
解这个不等式，得到 $m \neq -1$ 且 $m \neq 3$（通过对 $m^{2} - 2m - 3 = (m-3)(m+1)$ 进行因式分解得出）。

9. 在一定条件下，若物体运动的路程 $ s $（米）与时间 $ t $（秒）的关系式为 $ s = 5t^{2} + 2t $，则当 $ t = 4 $ 时，该物体所经过的路程为（）
A.88 米
B.68 米
C.48 米
D.28 米

A

已知物体运动的路程$s$与时间$t$的关系式为$s = 5t^{2}+2t$，要求当$t = 4$时物体所经过的路程，只需将$t = 4$代入关系式中计算。
当$t = 4$时，$s=5×4^{2}+2×4$
先计算指数运算$4^{2}=16$，再计算乘法$5×16 = 80$，$2×4 = 8$，最后计算加法$80 + 8=88$（米）。

10. 已知一元二次方程 $ 2x^{2} + bx + c = 0 $ 的两根为 $ - 2 $ 和 3.求二次函数 $ y = 2x^{2} + bx + c $ 的表达式.

$y = 2x^{2}-2x - 12$

因为一元二次方程$2x^{2} + bx + c = 0$的两根为$-2$和$3$，根据韦达定理，两根之和$-2 + 3=-\frac{b}{2}$，解得$b=-2$；两根之积$-2×3=\frac{c}{2}$，解得$c=-12$。所以二次函数表达式为$y = 2x^{2}-2x - 12$。

▲11. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 6 $，$ BC = 12 $，$ E $ 是 $ AB $ 上一点，$ F $ 是 $ BC $ 上一点，且 $ BF = 2BE $，若设 $ BE = x $，$ \triangle DEF $ 的面积为 $ S $.
（1）求 $ S $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
（2）试求自变量 $ x $ 的取值范围.
（3）当函数值为 20 时，求自变量 $ x $ 的值.
]

（1）$S=-x^2+12x$；（2）$0≤x≤6$；（3）$x=2$。

（1）矩形ABCD面积为$6×12=72$。
$AE=6-x$，$BF=2x$，$FC=12-2x$。
$\triangle ADE$面积：$\frac{1}{2}×AD×AE=\frac{1}{2}×12×(6-x)=36-6x$；
$\triangle BEF$面积：$\frac{1}{2}×BE×BF=\frac{1}{2}×x×2x=x^2$；
$\triangle CDF$面积：$\frac{1}{2}×CD×FC=\frac{1}{2}×6×(12-2x)=36-6x$。
$S=72-(36-6x)-x^2-(36-6x)=-x^2+12x$。
（2）$E$在$AB$上，$0≤x≤6$；$F$在$BC$上，$0≤2x≤12\Rightarrow0≤x≤6$。故$0≤x≤6$。
（3）令$-x^2+12x=20$，即$x^2-12x+20=0$。
解得$x_1=2$，$x_2=10$（舍去）。故$x=2$。