15. (★★★) 已知抛物线 $y = (x - 1)^{2}-4$,在图 22.2 - 5 所示平面直角坐标系中画出该函数的图象,并结合图象回答相关问题：

(1) 该抛物线的对称轴是直线,顶点坐标为；
(2) 当 $y ＜ 0$ 时,$x$ 的取值范围为；
(3) 当 $-2 \leq x \leq 2$ 时,$y$ 的取值范围为。

如图所示

(1) 该抛物线的对称轴是直线 $x = 1$，顶点坐标为 $(1, -4)$。
(2)
抛物线 $y = (x - 1)^2 - 4$ 与 $x$ 轴的交点为 $x = -1$ 和 $x = 3$。
当 $y ＜ 0$ 时，$x$ 的取值范围为 $-1 ＜ x ＜ 3$。
(3)
当 $-2 \leq x \leq 2$ 时，
当$x=-2$，$y=(-2-1)^2-4=9-4=5$；
当$x=1$，$y=(1-1)^2-4=-4$；
当$x=2$，$y=(2-1)^2-4=1-4=-3$；
所以$y$ 的取值范围为 $-4 \leq y \leq 5$。

16. (★★) (2023·百色模拟) 定义：若两个函数图象与 $x$ 轴有一个共同的交点,我们就称这两个函数为“共根函数”。如 $y = x^{2}-4$ 与 $y = (x + 1)(x - 2)$ 的图象与 $x$ 轴的共同交点为 $(2,0)$,那么这两个函数就是共根函数。若 $y = 2x^{2}-4x$ 与 $y = x^{2}-3x + m - 1$ 为共根函数,则 $m$ 的值为【】
A.$1$
B.$1$ 或 $3$
C.$1$ 或 $2$
D.$2$ 或 $3$

B

1. 先求函数 $y = 2x^2 - 4x$ 与 $x$ 轴的交点，令 $y = 0$，得 $2x^2 - 4x = 0$，即 $2x(x - 2) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 2$，交点为 $(0,0)$ 和 $(2,0)$。
2. 根据题意，函数 $y = x^2 - 3x + m - 1$ 与 $x$ 轴的交点至少有一个与 $y = 2x^2 - 4x$ 相同，即交点为 $(0,0)$ 或 $(2,0)$。
3. 若交点为 $(0,0)$，代入 $y = x^2 - 3x + m - 1$，得 $0 = 0^2 - 3 × 0 + m - 1$，解得 $m = 1$。
4. 若交点为 $(2,0)$，代入 $y = x^2 - 3x + m - 1$，得 $0 = 2^2 - 3 × 2 + m - 1$，即 $0 = 4 - 6 + m - 1$，解得 $m = 3$。
5. 综上，$m$ 的值为 $1$ 或 $3$。

17. (★★) (2023·东营) 如图 22.2 - 6,抛物线 $y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点,与 $y$ 轴交于点 $C$,对称轴为直线 $x = - 1$。若点 $A$ 的坐标为 $(-4,0)$,则下列结论正确的是【】

A.$2a + b = 0$
B.$4a - 2b + c ＞ 0$
C.$x = 2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0)$ 的一个根
D.点 $(x_{1},y_{1})$,$(x_{2},y_{2})$ 在抛物线上,当 $x_{1}＞x_{2}＞-1$ 时,$y_{1}＜y_{2}＜0$

C

根据对称轴为直线$x = - 1$，由对称轴公式$- \frac{b}{2a}=-1$，可得$2a - b = 0$，而选项A是$2a + b = 0$，所以A错误。
已知点$A$的坐标为$(-4,0)$，根据对称轴$x = - 1$，设点$B$坐标为$(m,0)$，由$\frac{-4 + m}{2}=-1$，可得$m = 2$，即点$B$坐标为$(2,0)$，那么$x = 2$是方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的一个根，所以C正确。
由抛物线开口向上得$a\gt0$，当$x = - 2$时，$y = 4a-2b + c$，点$(-2,4a - 2b + c)$在抛物线上，由图象可知此时$y\lt0$，即$4a - 2b + c\lt0$，所以B错误。
当$x_{1}\gt x_{2}\gt - 1$时，抛物线上的点$y$随$x$的增大而增大，$y_{1}\gt y_{2}$，且当$x$足够大时$y\gt0$，所以D错误。

18. (★★★) (2021·河南) 如图 22.2 - 7,抛物线 $y = x^{2}+mx$ 与直线 $y = -x + b$ 相交于点 $A(2,0)$ 和点 $B$。

(1) 求 $m$ 和 $b$ 的值；
(2) 求点 $B$ 的坐标,并结合图象写出不等式 $x^{2}+mx ＞ -x + b$ 的解集；
(3) $M$ 是直线 $AB$ 上的一个动点,将点 $M$ 向左平移 $3$ 个单位长度得到点 $N$,若线段 $MN$ 与抛物线只有一个公共点,直接写出点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围。

1. （1）
把$A(2,0)$代入$y = x^{2}+mx$得：
$0 = 2^{2}+2m$，即$4 + 2m = 0$，解得$m=-2$。
把$A(2,0)$代入$y=-x + b$得：
$0=-2 + b$，解得$b = 2$。
2. （2）
由（1）知抛物线$y=x^{2}-2x$，直线$y=-x + 2$。
联立$\begin{cases}y=x^{2}-2x\\y=-x + 2\end{cases}$，则$x^{2}-2x=-x + 2$。
移项得$x^{2}-2x+x - 2 = 0$，即$x^{2}-x - 2 = 0$。
因式分解得$(x - 2)(x+1)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
当$x=-1$时，$y=-(-1)+2 = 3$，所以$B(-1,3)$。
不等式$x^{2}+mx\gt -x + b$即$x^{2}-2x\gt -x + 2$，从图象看，抛物线$y=x^{2}-2x$在直线$y=-x + 2$上方时$x\lt - 1$或$x\gt 2$。
3. （3）
设$M(x_{M},-x_{M}+2)$，则$N(x_{M}-3,-x_{M}+2)$。
把$N(x_{M}-3,-x_{M}+2)$代入$y=x^{2}-2x$得：$-x_{M}+2=(x_{M}-3)^{2}-2(x_{M}-3)$。
展开$(x_{M}-3)^{2}-2(x_{M}-3)=x_{M}^{2}-6x_{M}+9-2x_{M}+6=x_{M}^{2}-8x_{M}+15$。
则$-x_{M}+2=x_{M}^{2}-8x_{M}+15$，即$x_{M}^{2}-7x_{M}+13 = 0$，$\Delta=(-7)^{2}-4×13=-3\lt0$。
当$x=-1$时，$M$横坐标$x_{M}=-1$，当$x = 2$时，$M$横坐标$x_{M}=2$。
当$N$在抛物线顶点时，$y=x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1$，令$y=-x_{M}+2=-1$，则$x_{M}=3$。
当$N$在$y$轴上时，$x_{M}-3 = 0$，$x_{M}=3$。
所以$-1\leqslant x_{M}\lt2$。
综上，（1）$m=-2$，$b = 2$；（2）$B(-1,3)$，解集为$x\lt - 1$或$x\gt 2$；（3）$-1\leqslant x_{M}\lt2$。