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8. (★★)击地传球是篮球运动中的一种传球方式,利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截.如图27.2-71,传球选手从点A处将球传出,经地面点O处反弹后被接球选手在点C处接住,将球所经过的路径AO,OC均视为直线段,此时∠AOB= ∠COD.若点A距地面的高度AB为1.5m,点C距地面的高度CD为1m,传球选手与接球选手之间的距离BD为5m,则OB的长度为【
A.$\frac{5}{3}$m
B.2m
C.2.5m
D.3m
D
】A.$\frac{5}{3}$m
B.2m
C.2.5m
D.3m
答案
D
解析
由题意可知，$ \angle AOB = \angle COD $，且 $ \angle ABO = \angle CDO = 90° $，所以 $ \triangle ABO \sim \triangle CDO $。
根据相似三角形的性质，有：
$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}$。
已知 $ AB = 1.5 \, m $，$ CD = 1 \, m $，$ BD = 5 \, m $。
设 $ OB = x $，则 $ OD = 5 - x $。
代入比例关系：
$\frac{1.5}{1} = \frac{x}{5 - x}$。
解这个方程：
$1.5(5 - x) = x$，
$7.5 - 1.5x = x$，
$7.5 = 2.5x$，
$x = 3$。
因此，$ OB = 3 \, m $。
根据相似三角形的性质，有：
$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}$。
已知 $ AB = 1.5 \, m $，$ CD = 1 \, m $，$ BD = 5 \, m $。
设 $ OB = x $，则 $ OD = 5 - x $。
代入比例关系：
$\frac{1.5}{1} = \frac{x}{5 - x}$。
解这个方程：
$1.5(5 - x) = x$，
$7.5 - 1.5x = x$，
$7.5 = 2.5x$，
$x = 3$。
因此，$ OB = 3 \, m $。
9. (★★)学习相似三角形相关知识后,善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学知识计算桥AF的长.如图27.2-72,该桥两侧河岸平行,他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选出点B和点C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得DE//BC.经测量,BC= 120m,DE= 200m,且点E到河岸BC的距离为60m.已知AF⊥BC于点F,请你根据提供的数据,帮助他们计算桥AF的长度.
答案
设桥AF的长度为$ h \, m $。
∵ $ DE // BC $，
∴ $ \triangle ABC \sim \triangle ADE $（平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得三角形与原三角形相似）。
相似三角形对应高的比等于相似比，即$ \frac{AF}{AG} = \frac{BC}{DE} $，其中$ AG $为$ \triangle ADE $中$ DE $边上的高。
∵ $ AF \perp BC $，$ DE // BC $，
∴ $ AG \perp DE $，且$ AG = AF + $点$ E $到$ BC $的距离。
已知$ BC = 120 \, m $，$ DE = 200 \, m $，点$ E $到$ BC $的距离为$ 60 \, m $，
∴ 相似比$ \frac{BC}{DE} = \frac{120}{200} = \frac{3}{5} $，$ AG = h + 60 $。
代入比例式：$ \frac{h}{h + 60} = \frac{3}{5} $，
解得$ 5h = 3(h + 60) $，
$ 5h = 3h + 180 $，
$ 2h = 180 $，
$ h = 90 $。
答：桥AF的长度为$ 90 \, m $。
∵ $ DE // BC $，
∴ $ \triangle ABC \sim \triangle ADE $（平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得三角形与原三角形相似）。
相似三角形对应高的比等于相似比，即$ \frac{AF}{AG} = \frac{BC}{DE} $，其中$ AG $为$ \triangle ADE $中$ DE $边上的高。
∵ $ AF \perp BC $，$ DE // BC $，
∴ $ AG \perp DE $，且$ AG = AF + $点$ E $到$ BC $的距离。
已知$ BC = 120 \, m $，$ DE = 200 \, m $，点$ E $到$ BC $的距离为$ 60 \, m $，
∴ 相似比$ \frac{BC}{DE} = \frac{120}{200} = \frac{3}{5} $，$ AG = h + 60 $。
代入比例式：$ \frac{h}{h + 60} = \frac{3}{5} $，
解得$ 5h = 3(h + 60) $，
$ 5h = 3h + 180 $，
$ 2h = 180 $，
$ h = 90 $。
答：桥AF的长度为$ 90 \, m $。
解析
解：设 $AF = x$，点 $E$ 到河岸 $BC$ 的距离为 $60\ m$，则点 $E$ 到点 $A$ 所在河岸的距离为 $x + 60$。
因为 $DE // BC$，所以 $\triangle ABC \sim \triangle ADE$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{BC}{DE} = \frac{AF}{x + 60}$
代入 $BC = 120\ m$，$DE = 200\ m$：
$\frac{120}{200} = \frac{x}{x + 60}$
解得：
$120(x + 60) = 200x$
$120x + 7200 = 200x$
$80x = 7200$
$x = 90$
答：桥 $AF$ 的长度为 $90\ m$。
因为 $DE // BC$，所以 $\triangle ABC \sim \triangle ADE$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{BC}{DE} = \frac{AF}{x + 60}$
代入 $BC = 120\ m$，$DE = 200\ m$：
$\frac{120}{200} = \frac{x}{x + 60}$
解得：
$120(x + 60) = 200x$
$120x + 7200 = 200x$
$80x = 7200$
$x = 90$
答：桥 $AF$ 的长度为 $90\ m$。
10. (★★)如图27.2-73,路灯距地面8米,身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处,沿AO所在的直线行走14米到点B时,人影的长度【
![]
图27.2-73
A.增大1.5米
B.减小1.5米
C.增大3.5米
D.减小3.5米
D
】![]
图27.2-73
A.增大1.5米
B.减小1.5米
C.增大3.5米
D.减小3.5米
答案
D
解析
设小明在$A$点时影长为$x$米，在$B$点时影长为$y$米。
由于$\triangle OEC$与$\triangle MNC$相似（其中$E$为路灯，$M$为小明的头顶，$N$为小明脚底，$C$为影子顶端），
根据相似三角形的性质，有：
$\frac{x}{x + 20} = \frac{1.6}{8}$，
解得$x = 5$，
同理，当小明走到$B$点时，有：
$\frac{y}{y + (20 - 14)} = \frac{1.6}{8}$，
即：
$\frac{y}{y + 6} = \frac{1.6}{8}$，
解得$y = 1.5$，
因此，人影的长度变化了$x - y = 5 - 1.5 = 3.5$（米），即减小了3.5米。
由于$\triangle OEC$与$\triangle MNC$相似（其中$E$为路灯，$M$为小明的头顶，$N$为小明脚底，$C$为影子顶端），
根据相似三角形的性质，有：
$\frac{x}{x + 20} = \frac{1.6}{8}$，
解得$x = 5$，
同理，当小明走到$B$点时，有：
$\frac{y}{y + (20 - 14)} = \frac{1.6}{8}$，
即：
$\frac{y}{y + 6} = \frac{1.6}{8}$，
解得$y = 1.5$，
因此，人影的长度变化了$x - y = 5 - 1.5 = 3.5$（米），即减小了3.5米。
11. (★★)在一次数学活动课上,李老师带领学生去测教学楼的高度.在阳光下,测得身高1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m,与此同时,测得教学楼DE的影长DF为12.1m.
(1)请你在图27.2-74中画出此时教学楼DE在阳光下的影子DF;
(2)请你根据已测得的数据,求出教学楼DE的高度.(结果保留小数点后一位)
(1)请你在图27.2-74中画出此时教学楼DE在阳光下的影子DF;
(2)请你根据已测得的数据,求出教学楼DE的高度.(结果保留小数点后一位)
答案
(1) 如图所示
(2) 解：
∵ 同一时刻，物高与影长成正比，
∴ △ABC∽△FDE，
∴ $\frac{BC}{DE} = \frac{BA}{DF}$，
即 $\frac{1.65}{DE} = \frac{1.1}{12.1}$，
解得 $DE = \frac{1.65×12.1}{1.1} = 18.15 ≈ 18.2$（m）。
答：教学楼DE的高度约为18.2m。
