5. (★★)如图 27 - 5,$ △ABC $ 是一张形状为锐角三角形的硬纸片,$ AD $ 是 $ BC $ 边上的高,$ BC = 40 cm $,$ AD = 30 cm $,从这张硬纸片上剪下一个长 $ HG $ 是宽 $ HE $ 的 2 倍的矩形 $ EFGH $,使它的一边 $ EF $ 在 $ BC $ 边上,顶点 $ G $,$ H $ 分别在 $ AC $,$ AB $ 上,$ AD $ 与 $ HG $ 的交点为点 $ M $。
(1) 求证：$ \frac{AM}{AD} = \frac{HG}{BC} $；
(2) 求这个矩形 $ EFGH $ 的周长。
]

(1) 证明：∵四边形EFGH是矩形，∴HG//BC，
∵HG//BC，∴△AHG∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∵AD是△ABC的高，AM是△AHG的高，
∴相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$。
(2) 设矩形EFGH的宽HE为$x\ cm$，则长HG为$2x\ cm$，
∵四边形EFGH是矩形，AD⊥BC，∴HE=MD=$x$，AM=AD-MD=30-$x$，
由(1)得$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$，即$\frac{30-x}{30}=\frac{2x}{40}$，
解得$x=12$，则HG=$2x=24$，
矩形周长为$2×(24+12)=72\ cm$。
答：矩形EFGH的周长为$72\ cm$。

6. (★)(2023·潍坊)在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图 27 - 6,$ AB $ 表示塔的高度,$ CD $ 表示竹竿顶端到地面的高度,$ EF $ 表示人眼到地面的高度,$ AB $,$ CD $,$ EF $ 在同一平面内,点 $ A $,$ C $,$ E $ 在一条水平直线上。已知 $ AC = 20 m $,$ CE = 10 m $,$ CD = 7 m $,$ EF = 1.4 m $,人从点 $ F $ 远眺塔顶 $ B $,视线恰好经过竹竿的顶端 $ D $,可求出塔的高度。根据以上信息,塔的高度为m。
]

18.2

过点F作FG⊥AB于G，交CD于H。则FG=AE=AC+CE=30m，FH=CE=10m，DH=CD-EF=7-1.4=5.6m，BG=AB-EF=AB-1.4。
∵CD//AB，
∴△FDH∽△FBG。
∴DH/BG=FH/FG，即5.6/(AB-1.4)=10/30。
解得AB=18.2。

7. (★★)如图 27 - 7,三个正六边形全等,其中成位似图形关系的有【】

A.4 对
B.1 对
C.2 对
D.3 对

C

位似图形需满足相似（全等必相似）、对应点连线交于一点、对应边平行。三个全等正六边形中，两两判断：假设三个正六边形为A、B、C。若A与B对应点连线交于一点且对应边平行，A与C对应点连线交于一点且对应边平行，而B与C对应点连线平行（平移关系），不交于一点，故不成位似。因此成位似关系的有A与B、A与C两对。

8. (★★)在 $ △ABC $ 中,$ AB ＞ BC ＞ AC $,$ D $ 是 $ AC $ 的中点,过点 $ D $ 作直线 $ l $,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线 $ l $ 有条。

4

在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC中点（AD=DC=AC/2）。过D作直线l截得的三角形与△ABC相似，分以下情况：
1. 直线l交AB于E，形成△ADE
情况1：△ADE∽△ABC（∠A公共，∠ADE=∠B），由两角相等得相似，存在1条直线。
情况2：△ADE∽△ACB（∠A公共，∠ADE=∠C，即DE//BC），平行得相似，存在1条直线。
2. 直线l交BC于F，形成△CDF
情况3：△CDF∽△CBA（∠C公共，∠CDF=∠B），由两角相等得相似，存在1条直线。
情况4：△CDF∽△CAB（∠C公共，∠CDF=∠A，即DF//AB），平行得相似，存在1条直线。
综上，共4条直线。

9. (★★)如图 27 - 8,直线 $ y = x - 3 $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ P $,$ F $,与曲线 $ y = \frac{4}{x}(x ＜ 0) $ 交于点 $ E $。在 $ x $ 轴上是否存在点 $ D $,使点 $ D $,$ F $,$ P $ 组成的三角形与 $ △OEP $ 相似？如果存在,请求出点 $ D $ 的坐标；如果不存在,请说明理由。
]

存在，点$D$的坐标为$\boxed{\left(\dfrac{3}{4}, 0\right)}$或$\boxed{(-5, 0)}$。

解：
1. 求点坐标
直线$y=x-3$与$x$轴交于$P(3,0)$（令$y=0$），与$y$轴交于$F(0,-3)$（令$x=0$）。
联立$\begin{cases}y=x-3\\y=\frac{4}{x}(x＜0)\end{cases}$，解得$x=-1$，$y=-4$，即$E(-1,-4)$。
2. 设$D(d,0)$，分析$\triangle DFP$与$\triangle OEP$相似条件
$\triangle OEP$中：$O(0,0)$，$E(-1,-4)$，$P(3,0)$。
计算边长：$OP=3$，$PE=\sqrt{(3+1)^2+(0+4)^2}=4\sqrt{2}$，$OE=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2}=\sqrt{17}$。
$\angle OPE=45°$（直线$EP$斜率为$1$，倾斜角$45°$）。
$\triangle DFP$中：$D(d,0)$，$F(0,-3)$，$P(3,0)$。
$\angle DPF=45°$（直线$PF$斜率为$1$，倾斜角$45°$），$PF=3\sqrt{2}$，$PD=|d-3|$。
3. 相似情况讨论（夹角$45°$的两边成比例）
情况1：$\frac{OP}{PD}=\frac{PE}{PF}$
代入$OP=3$，$PE=4\sqrt{2}$，$PF=3\sqrt{2}$，得$\frac{3}{|d-3|}=\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{3}$，
解得$|d-3|=\frac{9}{4}$，$d=\frac{3}{4}$（$d=\frac{21}{4}$舍去，三边不成比例）。
故$D\left(\frac{3}{4},0\right)$。
情况2：$\frac{OP}{PF}=\frac{PE}{PD}$
代入得$\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{|d-3|}$，化简得$|d-3|=8$，$d=-5$（$d=11$舍去，三边不成比例）。
故$D(-5,0)$。
4. 结论
存在点$D$，坐标为$\left(\frac{3}{4},0\right)$或$(-5,0)$。