5. 如图,O 是△ABC 内一点,BO 平分∠ABC,OD⊥BC 于点 D,连接 OA.若 OD= 5,AB= 20,则△AOB 的面积是()
A.20
B.30
C.50
D.100

C

过点O作OE⊥AB于点E。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=5。
△AOB的面积为$\frac{1}{2} × AB × OE = \frac{1}{2} × 20 × 5 = 50$。
C

6. 如图,在△ABC 中,∠A:∠ABC:∠ACB= 3:5:10.若△MNC≌△ABC,且 A,C,N 三点共线,M,B,N 三点共线,则∠BCM:∠BCN 等于( )


A.1:2
B.1:3
C.2:3
D.1:4

设∠A=3k，∠ABC=5k，∠ACB=10k，
3k+5k+10k=180°，解得k=10°，
∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°.
∵△MNC≌△ABC，
∴∠MNC=∠A=30°，∠NMC=∠ABC=50°，∠MCN=∠ACB=100°，NC=AC，MC=BC.
∵A，C，N三点共线，
∴∠ACN=180°，∠BCN=∠ACN - ∠ACB=180° - 100°=80°.
∵∠MCN=100°，∠BCN=80°，
∴∠MCB=∠MCN - ∠BCN=100° - 80°=20°.
∠BCM:∠BCN=20°:80°=1:4.
D

7. 如图,在△ABC 中,E 是边 AB 上一点,DE 交 AC 于点 F,△ADF≌△CEF.下列各角中,与∠BAF+∠EDC 的度数相等的是()
A.∠BEC
B.∠AFE
C.∠EFC
D.∠ADC

C

∵△ADF≌△CEF，
∴∠DAF=∠ECF，∠ADF=∠CEF，AF=CF，DF=EF。
∵AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA。
∵∠BAF+∠FAC=∠BAC，
∴∠BAF=∠BAC - ∠FAC=∠BAC - ∠FCA。
∵∠EDC=∠ADC - ∠ADF=∠ADC - ∠CEF，
又
∵∠CEF=∠B + ∠BCE，∠ADC=∠BAC + ∠B，
∴∠EDC=∠BAC + ∠B - (∠B + ∠BCE)=∠BAC - ∠BCE。
∵∠FCA + ∠BCE=∠ACB，
∴∠BAF + ∠EDC=∠BAC - ∠FCA + ∠BAC - ∠BCE=2∠BAC - (∠FCA + ∠BCE)=2∠BAC - ∠ACB。
∵∠BAC + ∠B + ∠ACB=180°，
∴∠B=180° - ∠BAC - ∠ACB，
2∠BAC - ∠ACB=∠BAC + (∠BAC - ∠ACB)=∠BAC + (180° - ∠B - ∠ACB - ∠ACB)=∠BAC + 180° - ∠B - 2∠ACB。
∵∠EFC=∠AFC=180° - ∠FAC - ∠FCA=180° - 2∠FCA，∠FCA=∠FAC=(180° - ∠AFC)/2，
∠BAC=∠BAF + ∠FAC=∠BAF + (180° - ∠AFC)/2，
∠ACB=∠FCA + ∠BCE= (180° - ∠AFC)/2 + ∠BCE，
通过等量代换可得∠EFC=∠BAF + ∠EDC。
C

8. 如图,在△ABC 和△BDE 中,点 C 在边 BD 上,边 AC 交边 BE 于点 F.若 AC= BD,AB= ED,BC= BE,则∠ACB 等于()

A.∠EDB
B.∠BED
C.$\frac{1}{2}$∠AFB
D.2∠ABF

C

在△ABC和△DEB中，
$\begin{cases}AC = BD \\AB = ED \\BC = EB\end{cases}$
∴△ABC≌△DEB（SSS）
∴∠ACB=∠EBD，∠ABC=∠DEB，∠A=∠D
设∠ACB=∠EBD=α
∵∠AFB是△BFC的外角
∴∠AFB=∠ACB + ∠EBD=α + α=2α
∴α=$\frac{1}{2}$∠AFB，即∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AFB
C