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1. (2024成都中考)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,点 $ P(1,-4) $ 关于原点对称的点的坐标是(
A.$ (-1,-4) $
B.$ (-1,4) $
C.$ (1,4) $
D.$ (1,-4) $
B
)A.$ (-1,-4) $
B.$ (-1,4) $
C.$ (1,4) $
D.$ (1,-4) $
答案
B
解析
关于原点对称的点的坐标特点是横、纵坐标都互为相反数。
点$P(1,-4)$的横坐标为$1$，其相反数是$-1$；纵坐标为$-4$，其相反数是$4$。
所以点$P(1,-4)$关于原点对称的点的坐标是$(-1,4)$。
B
点$P(1,-4)$的横坐标为$1$，其相反数是$-1$；纵坐标为$-4$，其相反数是$4$。
所以点$P(1,-4)$关于原点对称的点的坐标是$(-1,4)$。
B
2. 已知点 $ P(x,y) $ 在第二象限,$ |x| = 6 $,$ |y| = 8 $,则点 $ P $ 关于原点对称的点的坐标为(
A.$ (6,8) $
B.$ (-6,8) $
C.$ (-6,-8) $
D.$ (6,-8) $
D
)A.$ (6,8) $
B.$ (-6,8) $
C.$ (-6,-8) $
D.$ (6,-8) $
答案
D
解析
∵点$P(x,y)$在第二象限，
∴$x＜0$，$y＞0$。
∵$|x| = 6$，$|y| = 8$，
∴$x=-6$，$y=8$，即点$P$的坐标为$(-6,8)$。
点$(-6,8)$关于原点对称的点的坐标为$(6,-8)$。
D
3. 若点 $ P(-1 - 2a,2a - 4) $ 关于原点对称的点是第一象限内的点,则 $ a $ 的整数解有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
点P(-1-2a,2a-4)关于原点对称的点为(1+2a,4-2a)。
因为该对称点在第一象限，所以$\begin{cases}1+2a＞0 \\4-2a＞0\end{cases}$
解$1+2a＞0$得$a＞-\dfrac{1}{2}$
解$4-2a＞0$得$a＜2$
所以$-\dfrac{1}{2}＜a＜2$
a的整数解为0,1，共2个。
B
因为该对称点在第一象限，所以$\begin{cases}1+2a＞0 \\4-2a＞0\end{cases}$
解$1+2a＞0$得$a＞-\dfrac{1}{2}$
解$4-2a＞0$得$a＜2$
所以$-\dfrac{1}{2}＜a＜2$
a的整数解为0,1，共2个。
B
4. 若点 $ P(m + 1,8 - 2m) $ 关于原点的对称点 $ Q $ 在第三象限,那么 $ m $ 的取值范围是
-1＜m＜4
。答案
-1＜m＜4
解析
点$P(m + 1,8 - 2m)$关于原点的对称点$Q$的坐标为$(-m - 1,2m - 8)$。
因为点$Q$在第三象限，所以$\begin{cases}-m - 1 ＜ 0 \\2m - 8 ＜ 0\end{cases}$
解$-m - 1 ＜ 0$，得$m ＞ -1$
解$2m - 8 ＜ 0$，得$m ＜ 4$
所以$m$的取值范围是$-1 ＜ m ＜ 4$
因为点$Q$在第三象限，所以$\begin{cases}-m - 1 ＜ 0 \\2m - 8 ＜ 0\end{cases}$
解$-m - 1 ＜ 0$，得$m ＞ -1$
解$2m - 8 ＜ 0$，得$m ＜ 4$
所以$m$的取值范围是$-1 ＜ m ＜ 4$
5. 如图23-2-3-2,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出与四边形 $ ABCD $ 关于原点对称的图形。
答案
1. 由图可知四边形ABCD各顶点坐标：A(-2,3)，B(-4,1)，C(-3,-1)，D(-1,0)。
2. 关于原点对称的点的坐标特点：点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。
3. 计算各对称点坐标：
A' (2,-3)
B' (4,-1)
C' (3,1)
D' (1,0)
4. 在坐标系中描出点A'，B'，C'，D'，依次连接各点，得到四边形A'B'C'D'。
2. 关于原点对称的点的坐标特点：点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。
3. 计算各对称点坐标：
A' (2,-3)
B' (4,-1)
C' (3,1)
D' (1,0)
4. 在坐标系中描出点A'，B'，C'，D'，依次连接各点，得到四边形A'B'C'D'。
6. 已知点 $ A(-1,3a - 1) $ 与点 $ B(2b + 1,-2) $ 关于 $ x $ 轴对称,点 $ C(a + 2,b) $ 与点 $ D $ 关于原点对称。
(1) 求点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 的坐标；
(2) 顺次连接 $ A $,$ D $,$ B $,$ C $,求所得图形的面积。
(1) 求点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 的坐标；
(2) 顺次连接 $ A $,$ D $,$ B $,$ C $,求所得图形的面积。
答案
(1)点A(-1,2),B(-1,-2),C(3,-1),D(-3,1)。
(2)画图略，四边形ADBC的面积为12。
7. 如图23-2-3-4,在平面直角坐标系中,一只电子跳蛙从点 $ P $ 处开始跳动,第一次跳到点 $ P $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ P_{1} $ 处,接着跳到点 $ P_{1} $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ P_{2} $ 处,第三次再跳到点 $ P_{2} $ 关于原点的对称点 $ P_{3} $ 处,……如此循环下去。当跳动第2021次时,电子跳蛙跳过的总路程是
(6740+1346√13)
个单位长度。答案
(6740+1346√13)
解析
由图可知点$P$的坐标为$(-3,2)$。
第一次跳动：$P(-3,2)$关于$x$轴的对称点$P_1(-3,-2)$，路程$PP_1=\sqrt{(-3+3)^2+(-2-2)^2}=4$。
第二次跳动：$P_1(-3,-2)$关于$y$轴的对称点$P_2(3,-2)$，路程$P_1P_2=\sqrt{(3+3)^2+(-2+2)^2}=6$。
第三次跳动：$P_2(3,-2)$关于原点的对称点$P_3(-3,2)$，路程$P_2P_3=\sqrt{(-3-3)^2+(2+2)^2}=\sqrt{36 + 16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
第四次跳动：$P_3(-3,2)$关于$x$轴的对称点$P_4(-3,-2)$，此时回到$P_1$位置，周期为$3$次跳动。
一个周期路程：$4 + 6 + 2\sqrt{13}=10 + 2\sqrt{13}$。
$2021÷3=673$（周期）$\cdots\cdots2$（次），即$673$个完整周期加前$2$次跳动。
总路程：$673×(10 + 2\sqrt{13})+4 + 6=6730 + 1346\sqrt{13}+10=6740 + 1346\sqrt{13}$。
$6740 + 1346\sqrt{13}$
第一次跳动：$P(-3,2)$关于$x$轴的对称点$P_1(-3,-2)$，路程$PP_1=\sqrt{(-3+3)^2+(-2-2)^2}=4$。
第二次跳动：$P_1(-3,-2)$关于$y$轴的对称点$P_2(3,-2)$，路程$P_1P_2=\sqrt{(3+3)^2+(-2+2)^2}=6$。
第三次跳动：$P_2(3,-2)$关于原点的对称点$P_3(-3,2)$，路程$P_2P_3=\sqrt{(-3-3)^2+(2+2)^2}=\sqrt{36 + 16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
第四次跳动：$P_3(-3,2)$关于$x$轴的对称点$P_4(-3,-2)$，此时回到$P_1$位置，周期为$3$次跳动。
一个周期路程：$4 + 6 + 2\sqrt{13}=10 + 2\sqrt{13}$。
$2021÷3=673$（周期）$\cdots\cdots2$（次），即$673$个完整周期加前$2$次跳动。
总路程：$673×(10 + 2\sqrt{13})+4 + 6=6730 + 1346\sqrt{13}+10=6740 + 1346\sqrt{13}$。
$6740 + 1346\sqrt{13}$
