22. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$∠BAC = 120^{\circ}$,$AD$ 是 $BC$ 边上的中线,$CD$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $E$,交 $CD$ 于点 $F$,连接 $DE$.求证：$\triangle ADE$ 为等边三角形.

证明:因为△ABC中,AB = AC,∠BAC = 120°,AD是BC边上的中线,所以AD平分∠BAC,AD⊥BC于点D,所以∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×120° = 60°,∠ADC = 90°,所以∠C = 30°.因为CD的垂直平分线交AC于点E,交CD于点F,所以DE = EC,所以∠EDC = ∠C = 30°,所以∠ADE = ∠ADC - ∠EDC = 90° - 30° = 60°,所以∠AED = 180° - ∠DAC - ∠ADE = 180° - 60° - 60° = 60°,所以∠AED = ∠DAC = ∠ADE = 60°,所以△ADE为等边三角形.

证明:在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120°$,$AD$是$BC$边上的中线,
$\therefore AD$平分$\angle BAC$,$AD\perp BC$,
$\therefore \angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$,$\angle ADC = 90°$,
$\therefore \angle C=180°-\angle DAC-\angle ADC=180° - 60° - 90°=30°$.
$\because EF$是$CD$的垂直平分线,
$\therefore DE = EC$,
$\therefore \angle EDC=\angle C = 30°$,
$\therefore \angle ADE=\angle ADC-\angle EDC=90° - 30°=60°$,
$\therefore \angle AED=180°-\angle DAC-\angle ADE=180° - 60° - 60°=60°$,
$\therefore \angle AED=\angle DAC=\angle ADE=60°$,
$\therefore \triangle ADE$为等边三角形.

23. 某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球,购买甲种足球共花费 2 000 元,购买乙种足球共花费 1 400 元,购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的 2 倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花 20 元.
(1) 求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
(2) 该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共 50 个,恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了 10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了 10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过 2 900 元,那么该校最多可购买乙种足球多少个？

(1)解:设购买一个甲种足球需x元,则购买一个乙种足球需(x + 20)元.根据题意,得$\frac{2000}{x}=2×\frac{1400}{x + 20}$,解得x = 50.经检验,x = 50是所列分式方程的解,且符合题意.所以x + 20 = 50 + 20 = 70.答:购买一个甲种足球需50元,购买一个乙种足球需70元.
(2)解:设该校购买乙种足球m个,则购买甲种足球(50 - m)个.由题意,得50(1 + 10%)(50 - m)+70(1 - 10%)m ≤ 2900,解得m ≤ $\frac{150}{8}$.因为m为正整数,所以m最大可取18.所以该校最多可购买乙种足球18个.