5. 在△ABC中,∠B= 2∠A,∠C= ∠A+20°,求△ABC各个内角的度数。

设$\angle A = x$，则根据题意有：
$\angle B = 2x$，
$\angle C = x + 20^{\circ}$，
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为$180 ^{\circ}$，即：
$\angle A + \angle B + \angle C = 180 ^{\circ}$，
代入之前设定的角度表达式，得：
$x + 2x + x + 20 ^{\circ} = 180 ^{\circ}$，
合并同类项，得：
$4x + 20 ^{\circ} = 180 ^{\circ}$，
移项并化简，得：
$4x = 160 ^{\circ}$，
解得：
$x = 40 ^{\circ}$，
将$x = 40 ^{\circ}$代入之前的设定，得：
$\angle A = 40 ^{\circ}$，
$\angle B = 2 × 40 ^{\circ} = 80 ^{\circ}$，
$\angle C = 40 ^{\circ} + 20 ^{\circ} = 60 ^{\circ}$。
答：$\angle A = 40 ^{\circ}$，$\angle B = 80 ^{\circ}$，$\angle C = 60 ^{\circ}$。

6. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为()

A.180°
B.210°
C.270°
D.360°

A

设$AB$与$CE$相交于点$F$。
在$\triangle ACF$中，根据三角形内角和定理，$\angle A + \angle C = \angle BFE$。
在$\triangle BDF$中，$\angle BFE+\angle B + \angle D+\angle E = 360^{\circ}$（四边形或相交线形成的角的相关性质，这里可看作$\triangle BDF$外角相关及三角形内角和的延伸，把$\angle BFE$代入可得）。
将$\angle A + \angle C = \angle BFE$代入$\angle BFE+\angle B + \angle D+\angle E = 360^{\circ}$，可得$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E = 180^{\circ}$。

7. 如图,在△ABC中,BE,CF是角平分线,BE,CF相交于点D,连接AD,∠ABC= 50°,∠ACB= 70°,则∠ADE为。

55°

在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-50°-70°=60°。
∵BE，CF是角平分线且交于点D，∴D为△ABC内心，AD平分∠BAC，故∠BAD=∠BAC/2=30°。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠ABC/2=25°。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-30°-25°=125°。
∵E，D，B共线，∴∠ADE=180°-∠ADB=180°-125°=55°。

8. 在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的3倍,这样的三角形我们定义为“三倍角三角形”。例如,三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“三倍角三角形”。
(1)在△ABC中,∠A= 35°,∠B= 40°,△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2)若△ABC是“三倍角三角形”,且∠B= 30°,求△ABC中最小内角的度数。

(1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，则∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-40°=105°。因为105°=3×35°，即∠C=3∠A，所以△ABC是“三倍角三角形”。
(2)设△ABC的三个内角为∠A，∠B=30°，∠C，且∠A+∠C=150°。
情况1：若∠B=3∠A，则∠A=10°，∠C=180°-30°-10°=140°，此时最小内角为10°；
情况2：若∠A=3∠B，则∠A=90°，∠C=60°，此时最小内角为30°；
情况3：若∠A=3∠C，则∠A=3∠C，∠A+∠C=150°，即4∠C=150°，∠C=37.5°，∠A=112.5°，此时最小内角为30°；
情况4：若∠C=3∠B，则∠C=90°，∠A=60°，此时最小内角为30°；
情况5：若∠B=3∠C，则∠C=10°，∠A=140°，此时最小内角为10°。
综上，△ABC中最小内角的度数为10°或30°。

9.(1)如图1,AB和CD交于点O,求证：∠A+∠C= ∠B+∠D；
(2)如图2,AE,CE分别平分∠BAD,∠BCD,运用(1)的结论求证：∠B+∠D= 2∠E。

(1)证明：在△AOC中，∠A+∠C+∠AOC=180°，则∠A+∠C=180°-∠AOC；在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°，则∠B+∠D=180°-∠BOD。
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D。
(2)证明：∵AE平分∠BAD，CE平分∠BCD，设∠BAE=∠EAD=α，∠BCE=∠ECD=β。
在AB与CE的交点F处，由(1)结论得：∠B+∠BCE=∠E+∠BAE，即∠B+β=∠E+α ①；
在AD与CE的交点G处，由(1)结论得：∠D+∠EAD=∠E+∠ECD，即∠D+α=∠E+β ②；
①+②得：∠B+β+∠D+α=∠E+α+∠E+β，化简得∠B+∠D=2∠E。