2. 运用平方差公式进行计算：
$2025^2 - 2024×2026$。

$1$

$2025^2 - 2024×2026$
$=2025^2 - (2025 - 1)(2025 + 1)$
$=2025^2 - (2025^2 - 1^2)$
$=2025^2 - 2025^2 + 1$
$=1$

1. 下列多项式的乘法中,能用平方差公式计算的是()
A.$(5x - 1)(5x - 1)$
B.$(x - 3)(-3 + x)$
C.$(3m + n)(-n + 3m)$
D.$(y - 2)(y + 4)$

C

平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：两个因式中相同项是$5x$，互为相反数的项不存在，不能用平方差公式计算。
选项B：将$(x - 3)(-3 + x)$变形为$(x - 3)(x - 3)$，两个因式完全相同，不能用平方差公式计算。
选项C：$(3m + n)(-n + 3m)=(3m + n)(3m - n)$，其中$3m$完全相同，$n$与$-n$互为相反数，能用平方差公式计算。
选项D：两个因式中，相同项和互为相反数的项都不符合平方差公式的形式，不能用平方差公式计算。

2. 若$(-mx - 3y)(mx - 3y) = -49x^2 + 9y^2$,则$m$的值为()
A.7
B.$-7$
C.$\pm7$
D.以上都不对

C

首先，将左边的表达式展开：
$(-mx - 3y)(mx - 3y) = (-mx)(mx) + (-mx)(-3y) + (-3y)(mx) + (-3y)(-3y)$
$= -m^2x^2 + 3mxy - 3mxy + 9y^2$
$= -m^2x^2 + 9y^2$
由题意得：$-m^2x^2 + 9y^2 = -49x^2 + 9y^2$，
比较同类项，得：$-m^2 = -49$，
解得：$m^2 = 49$，
所以，$m = \pm7$。

3. $(a + $$)(2 - $______$) = 4 - a^2$。

2；a

因为$4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2 + a)(2 - a)$，所以原式左边为$(a + 2)(2 - a)$。

4. 计算：(1)$(-x + 2y)(-x - 2y) = $；
(2)$(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1) = $。

(1)$x^{2} - 4y^{2}$；
(2)$16a^{4} - 1$。

(1) 根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将 $a = -x$，$b = 2y$，可得：
$(-x + 2y)(-x - 2y) = (-x)^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$；
(2) 首先利用平方差公式计算前两个括号的乘积：
$(2a - 1)(2a + 1) = (2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$，
接着，将上述结果与第三个括号相乘，再次应用平方差公式：
$(4a^2 - 1)(4a^2 + 1) = (4a^2)^2 - 1^2 = 16a^4 - 1$。

5. 运用平方差公式计算：
(1)$(a + 4b)(a - 4b)$；
(2)$(m^2 + \frac{2}{3}n)(m^2 - \frac{2}{3}n)$；
(3)$\frac{1}{4}x^2 + (y + \frac{1}{2}x)(y - \frac{1}{2}x)$。

(1)
根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$，在$(a + 4b)(a - 4b)$中，$x = a$，$y = 4b$，则：
$(a + 4b)(a - 4b)=a^{2}-(4b)^{2}=a^{2}-16b^{2}$
(2)
同样根据平方差公式，在$(m^2+\frac{2}{3}n)(m^2 - \frac{2}{3}n)$中，$x = m^{2}$，$y=\frac{2}{3}n$，则：
$(m^{2}+\frac{2}{3}n)(m^{2}-\frac{2}{3}n)=(m^{2})^{2}-(\frac{2}{3}n)^{2}=m^{4}-\frac{4}{9}n^{2}$
(3)
先利用平方差公式计算$(y+\frac{1}{2}x)(y - \frac{1}{2}x)$，其中$x$（这里公式中的$x$与题目中的$x$不同，为方便理解公式中的变量）$=y$，$y=\frac{1}{2}x$（题目中的$x$），则$(y+\frac{1}{2}x)(y - \frac{1}{2}x)=y^{2}-(\frac{1}{2}x)^{2}=y^{2}-\frac{1}{4}x^{2}$。
所以$\frac{1}{4}x^{2}+(y + \frac{1}{2}x)(y - \frac{1}{2}x)=\frac{1}{4}x^{2}+y^{2}-\frac{1}{4}x^{2}=y^{2}$
综上，答案依次为：(1)$a^{2}-16b^{2}$；(2)$m^{4}-\frac{4}{9}n^{2}$；(3)$y^{2}$。

6. 已知$a + b = 3$,$a - b = 2$,则$a^2 - b^2$等于()
A.3
B.4
C.5
D.6

D

根据平方差公式，$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
已知$a + b = 3$，$a - b = 2$，代入公式得：
$a^2 - b^2 = 3 × 2 = 6$。

7. 如图,点$D$,$C$,$H$,$G分别在长方形ABJI$的边上,点$E$,$F在CD$上,若正方形$ABCD$的面积等于15,图中阴影部分的面积总和为6,则正方形$EFGH$的面积等于()

A.3
B.4
C.5
D.6

A

设正方形ABCD的边长为$a$，面积$a^2 = 15$；正方形EFGH的边长为$b$，面积为$b^2$。由图形对称性及平方差公式，阴影部分面积总和为$\frac{1}{2}(a^2 - b^2) = 6$。则$a^2 - b^2 = 12$，代入$a^2 = 15$，得$15 - b^2 = 12$，解得$b^2 = 3$。