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【典型例题】将下列各式分解因式：
(1) $ x^{3}y - 2x^{2}y + xy $；
(2) $ (a - b)^{2} + 4ab $；
(3) $ (x^{2} - 8)^{2} + 8(x^{2} - 8) + 16 $。
(1) $ x^{3}y - 2x^{2}y + xy $；
(2) $ (a - b)^{2} + 4ab $；
(3) $ (x^{2} - 8)^{2} + 8(x^{2} - 8) + 16 $。
答案
【解】(1) 原式 $ = xy(x^{2} - 2x + 1) $
$ = xy(x - 1)^{2} $。
(2) 原式 $ = a^{2} - 2ab + b^{2} + 4ab $
$ = a^{2} + 2ab + b^{2} $
$ = (a + b)^{2} $。
(3) 原式 $ = [(x^{2} - 8) + 4]^{2} $
$ = (x^{2} - 4)^{2} $
$ = [(x + 2)(x - 2)]^{2} $
$ = (x + 2)^{2}(x - 2)^{2} $。
$ = xy(x - 1)^{2} $。
(2) 原式 $ = a^{2} - 2ab + b^{2} + 4ab $
$ = a^{2} + 2ab + b^{2} $
$ = (a + b)^{2} $。
(3) 原式 $ = [(x^{2} - 8) + 4]^{2} $
$ = (x^{2} - 4)^{2} $
$ = [(x + 2)(x - 2)]^{2} $
$ = (x + 2)^{2}(x - 2)^{2} $。
1. (2024·四川眉山中考) 分解因式：$ 3a^{3} - 12a = $
$3a(a + 2)(a - 2)$
。答案
$3a(a + 2)(a - 2)$
解析
首先，从 $3a^{3} - 12a$ 中提取最大公因式 $3a$，得到：
$3a^{3} - 12a = 3a(a^{2} - 4)$
接着，观察 $a^{2} - 4$，这是一个差平方形式，它可以进一步分解为：
$a^{2} - 4 = (a + 2)(a - 2)$
代入之前的式子，得到：
$3a^{3} - 12a = 3a(a + 2)(a - 2)$
$3a^{3} - 12a = 3a(a^{2} - 4)$
接着，观察 $a^{2} - 4$，这是一个差平方形式，它可以进一步分解为：
$a^{2} - 4 = (a + 2)(a - 2)$
代入之前的式子，得到：
$3a^{3} - 12a = 3a(a + 2)(a - 2)$
2. 分解因式：
(1) $ 2ax^{2} + 12axy + 18ay^{2} $；
(2) $ -a^{2}b - 49b + 14ab $；
(3) $ a^{2}(x - y) + b^{2}(y - x) $。
(1) $ 2ax^{2} + 12axy + 18ay^{2} $；
(2) $ -a^{2}b - 49b + 14ab $；
(3) $ a^{2}(x - y) + b^{2}(y - x) $。
答案
(1)
解：原式 $= 2a(x^{2} + 6xy + 9y^{2})$
$= 2a(x + 3y)^{2}$
(2)
解：原式 $= -b(a^{2} - 14a + 49)$
$= -b(a - 7)^{2}$
(3)
解：原式 $= a^{2}(x - y) - b^{2}(x - y)$
$= (x - y)(a^{2} - b^{2})$
$= (x - y)(a + b)(a - b)$
解：原式 $= 2a(x^{2} + 6xy + 9y^{2})$
$= 2a(x + 3y)^{2}$
(2)
解：原式 $= -b(a^{2} - 14a + 49)$
$= -b(a - 7)^{2}$
(3)
解：原式 $= a^{2}(x - y) - b^{2}(x - y)$
$= (x - y)(a^{2} - b^{2})$
$= (x - y)(a + b)(a - b)$
1. (2024·云南中考) 分解因式：$ a^{3} - 9a = $(
A.$ a(a - 3)(a + 3) $
B.$ a(a^{2} + 9) $
C.$ (a - 3)(a + 3) $
D.$ a^{2}(a - 9) $
A
)A.$ a(a - 3)(a + 3) $
B.$ a(a^{2} + 9) $
C.$ (a - 3)(a + 3) $
D.$ a^{2}(a - 9) $
答案
A
解析
本题可先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解。
步骤一：提取公因式$a$
观察式子$a^{3}-9a$，每一项都含有公因式$a$，提取公因式$a$后可得：$a^{3}-9a = a(a^{2}-9)$。
步骤二：利用平方差公式继续分解
根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$，对于$a^{2}-9$，可将其变形为$a^{2}-3^{2}$，此时$m = a$，$n = 3$，则$a^{2}-9=a^{2}-3^{2}=(a + 3)(a - 3)$。
所以$a^{3}-9a = a(a^{2}-9)=a(a - 3)(a + 3)$。
步骤一：提取公因式$a$
观察式子$a^{3}-9a$，每一项都含有公因式$a$，提取公因式$a$后可得：$a^{3}-9a = a(a^{2}-9)$。
步骤二：利用平方差公式继续分解
根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$，对于$a^{2}-9$，可将其变形为$a^{2}-3^{2}$，此时$m = a$，$n = 3$，则$a^{2}-9=a^{2}-3^{2}=(a + 3)(a - 3)$。
所以$a^{3}-9a = a(a^{2}-9)=a(a - 3)(a + 3)$。
2. (2024·广西中考) 如果 $ a + b = 3 $,$ ab = 1 $,那么 $ a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3} $的值为(
A.0
B.1
C.4
D.9
D
)A.0
B.1
C.4
D.9
答案
D
解析
首先，将给定的式子进行因式分解，有：
$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3} = ab(a^{2} + 2ab + b^{2})$
观察上式，发现$a^{2} + 2ab + b^{2}$ 是 $(a+b)^{2}$ 的展开形式，所以：
$ab(a^{2} + 2ab + b^{2}) = ab(a + b)^{2}$
根据题目给定的条件，有 $a + b = 3$ 和 $ab = 1$，代入上式得：
$ab(a + b)^{2} = 1 × 3^{2} = 9$
$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3} = ab(a^{2} + 2ab + b^{2})$
观察上式，发现$a^{2} + 2ab + b^{2}$ 是 $(a+b)^{2}$ 的展开形式，所以：
$ab(a^{2} + 2ab + b^{2}) = ab(a + b)^{2}$
根据题目给定的条件，有 $a + b = 3$ 和 $ab = 1$，代入上式得：
$ab(a + b)^{2} = 1 × 3^{2} = 9$
3. (2024·四川绵阳中考) 分解因式：$ 2x^{2} + 8x + 8 = $
$2(x + 2)^{2}$
。答案
$2(x + 2)^{2}$
解析
首先，提取公因式$2$，得到：$2x^{2} + 8x + 8 = 2(x^{2} + 4x + 4)$，
然后，对多项式$x^{2} + 4x + 4$进行因式分解。
这是一个完全平方多项式，它可以表示为$(x + 2)^{2}$，
因此，原式可以进一步分解为：$2(x^{2} + 4x + 4) = 2(x + 2)^{2}$。
然后，对多项式$x^{2} + 4x + 4$进行因式分解。
这是一个完全平方多项式，它可以表示为$(x + 2)^{2}$，
因此，原式可以进一步分解为：$2(x^{2} + 4x + 4) = 2(x + 2)^{2}$。
4. (2024·四川达州中考) 分解因式：$ 3x^{2} - 18x + 27 = $
$3(x - 3)^{2}$
。答案
$3(x - 3)^{2}$
解析
首先，观察多项式 $3x^{2} - 18x + 27$，发现每一项都可以被3整除，因此先提取公因式3：
$3x^{2} - 18x + 27 = 3(x^{2} - 6x + 9)$，
接下来，观察括号内的多项式 $x^{2} - 6x + 9$，这是一个完全平方多项式，它可以写成 $(x - 3)^{2}$ 的形式。
因此，原式可以进一步分解为：
$3(x^{2} - 6x + 9) = 3(x - 3)^{2}$。
$3x^{2} - 18x + 27 = 3(x^{2} - 6x + 9)$，
接下来，观察括号内的多项式 $x^{2} - 6x + 9$，这是一个完全平方多项式，它可以写成 $(x - 3)^{2}$ 的形式。
因此，原式可以进一步分解为：
$3(x^{2} - 6x + 9) = 3(x - 3)^{2}$。
5. (2024·北京中考) 分解因式：$ x^{3} - 25x = $
$x(x + 5)(x - 5)$
。答案
$x(x + 5)(x - 5)$
解析
首先，从 $x^{3} - 25x$ 中提取公因式 $x$，得到：
$x^{3} - 25x = x(x^{2} - 25)$
接着，观察 $x^{2} - 25$，这是一个平方差形式，可以继续使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$ 进行分解，得到：
$x(x^{2} - 25) = x(x + 5)(x - 5)$
$x^{3} - 25x = x(x^{2} - 25)$
接着，观察 $x^{2} - 25$，这是一个平方差形式，可以继续使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$ 进行分解，得到：
$x(x^{2} - 25) = x(x + 5)(x - 5)$
